Течение жидкости в поле силы тяжести. Уравнение Бернулли

Рассмотрим задачу о течении жидкости вдоль произвольных трубок тока, могущих составлять произвольный переменный угол с горизонтом. Одна из наших криволинейных трубок показана на рис. 3.4. Если ввести криволинейную координату , совпадающую с осью трубки тока, то при стационарном течении жидкости ее скорость и давление являются функциями этой координаты. Проектируя силу тяжести на ось , запишем уравнение Эйлера (3.5) в виде:

(3.11)

Здесь v - скорость частиц, направленная вдоль оси трубки.

Рис. 3.4.

Если элемент жидкости сместился вниз на расстояние , то он сместился (опустился) на высоту dh<0, при этом . Подставляя значение в (3.11) и используя тождество , находим

(3.12)

Для несжимаемой жидкости =const, и последнее равенство трансформируется к виду

(3.13)

Интегрируя (3.13) вдоль трубки тока, получаем уравнение Бернулли

(3.14)

Это уравнение описывает стационарное течение несжимаемой жидкости (иногда употребляют термин "идеальной жидкости"), и играет фундаментальную роль в гидродинамических исследованиях. Если нам известно давление p₁, скорость v₁ в некотором сечении трубки тока, находящемся на высоте h₁, то в любом другом сечении на высоте h величины p и v связаны соотношением

(3.15)

Давление p - это статическое давление, которое получит манометр, находящийся в жидкости и движущийся вместе с нею, - это динамическое давление, смысл которого будет раскрыт позднее. Заметим, что в покоящейся жидкости равенство (3.15) описывает гидростатическое распределение давлений.
Уравнение Бернулли может быть получено с использованием закона сохранения энергии. В отсутствие сил вязкости, приращение суммарной (потенциальной и кинетической) энергии массы воды, находящейся в трубке тока между сечениями S₁ и S₂ (рис. 3.5) равно работе сил давления. Из рисунка видно, что за время dt течение жидкости эквивалентно по конечному результату перемещению элемента массой с высоты h₁ на высоту h₂ и одновременному повышению его скорости от величины v₁ до величины v₂.

Рис. 3.5.

Приращение кинетической энергии равно:

Приращение потенциальной энергии

Работа сил давления
dA=p₁S₁v₁dt - p₂S₂v₂dt.
Записывая уравнения энергетического баланса в виде
dE_K+dE_П=dA,
получаем уравнение Бернулли:

(3.16)

Проведенный энергетический вывод уравнения Бернулли делает более понятным физический смысл входящих в него членов. Так, статическое давление p численно равно работе сил давления, совершаемых над единичным объемом жидкости; динамическое давление есть кинетическая энергия единицы объема, а величина является потенциальной энергией единичного объема в поле силы тяжести.
Применим уравнение Бернулли к расчету течения жидкости в ряде интересных физических задач.