Вытекание жидкости через отверстие в сосуде

Пусть жидкость, заполняющая сосуд, под действием силы тяжести вытекает из него через отверстие в боковой стенке, расположенное вблизи дна сосуда (рис. 3.6). В отверстие вставлена горизонтальная трубка с закругленной внутренней кромкой, направляющая вытекающую струю воды. Закругленная кромка обеспечивает полное заполнение трубки вытекающей жидкостью.

Рис. 3.6.

Разобьем текущую жидкость на трубки тока. Одна из таких трубок изображена на рисунке 3.6. Хотя мы и не знаем, как выглядят эти трубки, однако все они начинаются на свободной поверхности жидкости и заканчиваются на выходном торце сливной трубки. Если площадь отверстия трубки S значительно меньше площади свободной поверхности S₀, то при истечении жидкости ее опускающаяся с некоторой скоростью v₀ поверхность будет оставаться горизонтальной. Это означает. что константа, входящая в уравнение Бернулли (3.14), будет одинакова для всех трубок тока:

Здесь H - высота уровня жидкости в сосуде. Поэтому скорость истечения жидкости v определяется из уравнения

(3.17)

где p₀ - атмосферное давление на свободной поверхности и у сливной трубки. Поскольку S S₀, то из условия несжимаемости (3.2) следует, что v₀ v. С учетом этого скорость истечения из (3.17) получается равной

(3.18)

Эта формула носит название формулы Торичелли, поскольку была получена Торичелли, жившем до Бернулли. Сразу бросается в глаза, что скорость истечения жидкости из сосуда такая же, как и при ее свободном падении с высоты H. В этом нет ничего удивительного, поскольку вязкостью мы пренебрегли, а работа сил атмосферного давления над трубкой тока равна нулю. Поэтому, как и при свободном падении тел в отсутствие сопротивления воздуха, при ращение кинетической энергии равно работе силы тяжести:

Справедливость формулы Торичелли можно легко проверить, если на выходную трубку надеть кусок гибкого шланга и вытекающую струю воды направить вверх под небольшим наклоном к вертикали (рис. 3.7). Струя поднимется практически до уровня поверхности жидкости. Если же струю направить вертикально вверх, то взлетающие вверх частицы жидкости, взаимодействуя с падающими вниз частицами, не смогут подняться на высоту H.

Рис. 3.7.

Интересно отметить, что трубки тока жидкости расположены преимущественно ближе к стенке сосуда с отверстием, в то время как у противоположной (левой на рис. 3.8) стенки жидкость практически малоподвижна. Это означает, что на левую стенку действуют силы давления, которое легко посчитать, используя линейный закон нарастания гидростатического давления с глубиной, даваемой формулой (2.11). Расчет сил давления, действующих на правую стенку, требует гидродинамического решения задачи. Однако и без такого расчета ясно, что в трубке тока, примыкающей к правой стенке, давление на каждой глубине будет меньше соответствующего этой глубине гидростатического давления. Это означает, что равнодействующая сил давления, действующих на обе стенки, направлена в сторону, противоположную направлению истечения жидкости. Под действием этой силы, называемой также реактивной, сосуд, поставленный на колеса, может придти в движение. Величину этой силы легко посчитать с использованием формулы Торичелли. По 3-му закону Ньютона искомая реактивная сила равна по величине силе, с которой стенки сосуда действуют на воду, сообщая ее (по 2-му закону Ньютона) приращение импульса в направлении истечения. Поскольку масса, вытекающая через отверстие с сечением S равна , то изменение импульса в единицу времени составит величину Поэтому реактивная сила

(3.19)

Рис. 3.8.

Отметим, что если бы мы ошибочно приняли, что распределение давлений с глубиной у правой стенки было такое же, как у левой, то реактивная сила получилась бы вдвое меньшей:

(3.20)

где - величина гидростатического давления на глубине H, S - площадь отверстия в правой стенке.
Однако можно добиться одинакового (гидростатического) распределения давлений у обеих стенок, если конец трубки с острой кромкой будет отстоять от правой стенки, как показано на рис. 3.9. В этом случае реактивная сила может определяться с помощью формулы (3.20). Если же ее вычислять при помощи (3.19), то в этой формуле надо вместо сечения трубки S подставить сечение струи воды в трубке S_B=kS, где коэффициент истечения k 1/2. При таком истечении трубка будет заполнена жидкостью приблизительно наполовину.

Рис. 3.9.

Реактивную силу можно увеличить, если прежде всего повысить скорость истечения жидкости. Для этого следует использовать замкнутый сосуд с отверстием, при этом над свободной поверхностью жидкости создается давление p₁>p₀. Тогда скорость истечения жидкости из уравнения Бернулли получается равной:

(3.21)

а реактивная сила возрастает линейно с повышением избыточного давления над свободной поверхностью жидкости.