Стационарное одномерное течение несжимаемой жидкости

Равновесие жидкостей и особенно газов, рассмотренное в предыдущей лекции, соответствует идеальным внешним условиям и поэтому на практике реализуется крайне редко. Обычно жидкости при внешнем воздействии приходят в движение, при этом давление и скорость ее частиц, вообще говоря, могут сложным образом меняться от точки к точке внутри объема текущей жидкости.
Поясним сказанное примером. Подключим горизонтальную стеклянную трубку переменного сечения при помощи резинового шланга к водопроводному крану (рис. 3.1). Если напор воды остается постоянным, то течение воды можно считать установившимся (или стационарным). В этом случае масса воды M, протекающая в единицу времени через сечения с площадями S₁ и S₂ будет одинаковой, поэтому имеет место равенство

(3.1)

где ( и v - плотность и скорость жидкости в этих сечениях. Если жидкость несжимаема , то условие (3.1) переходит в условие постоянства объема жидкости (условие несжимаемости), протекающего через сечения S₁ и S₂:

V = v1S1 = v2S2

(3.2)

Рис. 3.1.

Следует отметить, что условия постоянства массы (3.1) и несжимаемости жидкости (3.2) записаны для случая, когда скорости всех частиц жидкости одинаковы в поперечном сечении трубки.
Для графического изображения течения жидкости удобно использовать линии тока - линии, касательная к которым в каждой точке совпадает с вектором скорости частицы (рис. 3.2). Легко видеть, что в сечении S скорости частиц различны, и объем протекающей жидкости через это сечение не может быть записан в виде (3.2).

Рис. 3.2.

Далее отметим, что по мере приближения к узкому сечению S₂ частица, деформируясь, ускоряется (в силу 3.2), а при удалении от S₂ - замедляется. Эти ускорения могут обеспечить лишь силы давления f_i = - p_i n, показанные на рис. 3.2 маленькими стрелками. Из рисунка ясно, что давление в жидкости по мере приближения к S₂ падает. А затем возрастает. Это легко проверить, если сравнить уровни h₁ и h₂ жидкости в манометрических стеклянных трубках, впаянных в горизонтальную трубку вблизи сечений S₁ и S₂. Поскольку , то p₁ > p₂, т.к. h₁>;h₂. На рис. 3.3 качественно изображено распределение скоростей и давлений вдоль оси трубки (см. рис. 3.2).

Рис. 3.3.

Для количественного описания течения жидкости разобьем поток жидкости по трубе на элементарные потоки по воображаемым трубкам тока, образуемых семейством линий тока. В поперечном сечении трубки тока скорость частиц приблизительно одинакова, и это обстоятельство существенно облегчаем анализ течения жидкости.
Найдем количественную связь между скоростью и давлением, качественно отображенную на рис. 3.3. При прямолинейном течении частиц воды вдоль осевой трубки тока сумма сил, приложенных к единице объема (см. 2.5), обеспечивают его ускорение. В соответствии со 2-м законом Ньютона можно записать

(3.3)

где F_x - плотность, имеющая размерность Н/м³. Отметим, что в уравнение (3.3) не входят силы вязкости, зависящие от скорости движения элемента жидкости. Впоследствии мы учтем их влияние и выясним условия, при которых ими можно пренебречь. Изменение скорости частицы dv_x и связанное с ним ускорение может происходить как вследствие стационарного движения частицы от широкого к узкому (или наоборот) сечению, так и при нестационарном изменении скорости течения во времени (например, при медленном увеличении или ослаблении напора воды с помощью крана). Поэтому в общем случае скорость частиц является функцией не только координаты x, но и времени t:

(3.4)

где dx=v_xdt - расстояние, пройденное частицей за время dt. Подставляя (3.4) в (3.3), приходим к уравнению Эйлера

(3.5)

описывающее одномерное течение несжимаемой невязкой жидкости. При стационарном течении жидкости по горизонтальной трубе скорость не зависит от времени , внешние силы F_x=0, и уравнение Эйлера принимает простой вид

(3.6)

Здесь вместо используется символ полной производной d/dx.
Учитывая, что перепишем (3.6) в виде

(3.7)

Равенство (3.7), устанавливающее связь между давлением и скоростью, является частным случаем уравнения Бернулли. Константа, входящая в это уравнение, определяется из значений давления и скорости в каком-либо сечении трубки тока.
Используя это уравнение, определим массу воды (расход), проходящую за единицу времени через сечение трубки, изображенной на рис. 3.2. В соответствии с уравнением (3.7) давления и скорости в сечениях S₁ и S₂ связаны соотношением

(3.8)

Помимо этого, искомый расход воды определяется равенством (3.1):

(3.9)

Поскольку давление и определяются по показаниям h₁ и h₂ манометрических трубок, то решая систему уравнений (3.8) и (3.9) относительно m, находим

(3.10)

Для измерения расхода воды на практике применяются водомеры, основу которых составляет труба переменного сечения, оснащенная манометрами для измерения давлений p₁ и p₂ в известных сечениях S₁ и S₂.