Пример построения интерполяционного полинома

При испытаниях на железнодорожном пути под воздействием гармонической нагрузки производилась регистрация величин прогибов рельсов под точкой приложения нагрузки и на различные расстояния от точки приложения нагрузки. В результате исследования были получены следующие значения -амплитуд прогибов рельсов в зависимости от – расстояний от точки приложения нагрузки.

Таблица 3.1

(см)
(мм)		9,1	8,7	5,6	2,5

Требуется построить интерполяционный многочлен, значения которого совпадали бы с табличными значениями в узлах интерполяции.

Воспользуемся формулой Лагранжа. Из таблицы известно, что , поэтому формула Лагранжа в данном случае имеет вид:

Подставляем данные таблицы и получаем следующее выражение:

В результате вычислений получаем:

Построим интерполяционный многочлен по тем же данным, используя формулу Ньютона:

,

где

Составим таблицу конечных разностей.

Таблица 3.2

		-0,9	0,5	-3,2	5,9
	9,1	-0,4	-2,7	2,7
	8,7	-3,1
	5,6	-3,1
	2,5

Запишем интерполяционный полином Ньютона:

,

и в результате вычислений получим:

Полиномы, полученные методами Лагранжа и Ньютона, совпадают.

В результирующей формуле видно, что коэффициенты при и довольно малы и, возможно, что достаточно было бы для приближения функции взять многочлен второй степени. Но построение интерполяционного многочлена не позволяет найти “достаточно хороший” полином второй степени. Поэтому можно воспользоваться другими методами подбора “близкой” к данным таблицы функции.