Алгоритм вычисления собственных векторов линейного оператора

1) Зафиксировать произвольный базис линейного пространства и найти матрицу линейного оператора в этом базисе;

2) Составить и решить (в множестве действительных или комплексных чисел) характеристическое уравнение (5.5). Его корни и есть собственные значения линейного оператора;

3) При каждом найденном собственном значении однородная система (5.4) будет иметь ненулевые решения. Выделив фундаментальную систему линейно независимых решений, получим либо единственный собственный вектор , либо систему r линейно независимых собственных векторов линейного оператора, соответствующих собственному значению .

Пример 5.2. Задана матрица

некоторого линейного оператора в базисе пространства . Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы линейного оператора.

Решение. Матрица линейного оператора в базисе пространства уже задана. Для нахождения собственных значений составляем характеристический многочлен (5.6):

.

Его корни (собственные значения линейного оператора): , записанные с учетом алгебраических кратностей. Алгебраическая кратность собственного числа равна двум, так как

Алгебраическая кратность собственного числа равна единице, так как

.

Соответствующая однородная система (5.4) имеет вид

(5.7)

Полагая в системе (5.7) , получим однородную систему

общее решение которой имеет вид

Найдем соответствующую фундаментальную систему решений

.

Вектор-столбцы есть координатные вектор-столбцы собственных векторов , отвечающих собственному числу .

Аналогично положив в системе (5.7) и найдя ее общее решение, получим координатный вектор-столбец собственного вектора .