![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
(образ, ядро, ранг, дефект, основные равенства)
Определение 5.3. Ядром линейного оператора
называется множество векторов
таких, что
:
.
Из определения видно, что ядром линейного оператора
являются те векторы пространства
, которые переводятся оператором в нулевой вектор этого пространства.
Определение 5.4. Образом линейного оператора
называется множество всех векторов
для каждого
:
.
Теорема 5.5. Ядро и образ
линейного оператора, действующего в линейном пространстве, являются подпространствами линейного пространства.
□ Для доказательства теоремы достаточно показать, что множества и образ
непустые и замкнуты относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число.
Очевидно, что ядро является непустым, так как по теореме 5.1 образом нулевого вектора
является нулевой вектор
, то есть
. Аналогично
.
Покажем далее, что множество замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число, то есть покажем, что если
, то при всех
:
. Имеем
,
то есть .
Аналогично показывается, что множество замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. ■
Поскольку по теореме 5.5 ядро и образ являются подпространствами линейного пространства, то можно говорить об их размерностях.
Определение 5.5. Дефектом линейного оператора называют размерность ядра
этого оператора. Рангом
линейного оператора называют размерность образа
линейного оператора. Итак,
,
.
Справедлива следующая теорема о дефекте и ранге линейного оператора.
Теорема 5.6 ( о размерностях ядра и образа линейного оператора ). Сумма дефекта и ранга линейного оператора, действующего в конечномерном линейном пространстве, равна размерности этого линейного пространства:
.
Доказательство. Пусть ,
. Выберем в подпространстве
базис
и дополним его векторами
до базиса
всего пространства. Покажем, что векторы
образуют базис подпространства , то есть покажем, что эта система векторов линейно независима и любой вектор
может быть представлен в виде линейной комбинации векторов
. Если
и
, то
Равенство
означает, что вектор представлен в виде линейной комбинации векторов
.
Покажем теперь, что система векторов линейно независима. Составим равенство
и покажем, что оно выполняется только в случае, когда .
Так как линейный оператор, то по теореме 5.2
.
Из последнего равенства следует, что вектор
.
Покажем, что
.
Отметим, что векторы порождают некоторое подпространство
, являющееся линейной оболочкой этих векторов[1]:
.
Покажем, что подпространства и
пересекаются только по нулевому вектору. Действительно, пусть
. Тогда имеют место разложения вектора
по векторам базисов этих двух подпространств:
Вычитая из первого равенства второе, получим
.
Так как система векторов
является базисом пространства
(а значит, она линейно независима), то последнее равенство возможно только в том случае, когда
. Это означает, что
.
Выше было показано, что . Но
. Значит,
. Так как система векторов
является линейно независимой, то последнее равенство возможно только в том случае, когда
.
Итак, система векторов образует базис подпространства
, а значит,
, что и доказывает справедливость утверждения теоремы. ■
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 410 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!