![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В силу теоремы 5.4 линейный оператор в конечномерном линейном пространстве однозначно можно задать при помощи образов базисных векторов. Наряду с ядром, образом, дефектом и рангом для линейного оператора имеет место такая характеристика, как матрица этого оператора.
Пусть – базис в конечномерном линейном пространстве
(
). Тогда по теореме 5.4 для любых векторов
существует единственный линейный оператор
, переводящий векторы
базиса
в соответствующие векторы
, что можно записать в виде следующей операторной системы:
Разложим векторы через векторы базиса
:
где – некоторые числа.
Определение 5.6. Квадратная матрица
,
столбцами которой являются координатные вектор-столбцы векторов
в базисе
, называется матрицей линейного оператора
в базисе
.
Следующая теорема позволяет найти координаты образа в базисе через матрицу оператора и координаты прообраза в том же базисе.
Теорема 5.7. Пусть линейный оператор, действующий в линейном пространстве
и
базис в
. Тогда вектор-столбец
координат вектора
равен произведению
(5.1)
матрицы оператора в данном базисе на вектор-столбец
координат вектора
в данном базисе.
□ Пусть в базисе линейный оператор имеет матрицу
. Разложим векторы
через базисные векторы
Учитывая, что образы базисных векторов базиса
имеют разложения
,
получим
В силу того, что разложение вектора по базису
единственно, получим
что равносильно матричному равенству (5.1). ■
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 458 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!