Алгоритм нахождения запаса продуктивности модели Леонтьева

1. Составить матрицу .

2. Вычислить определитель матрицы .

3. Составить матрицу где есть алгебраическое дополнение для элемента матрицы .

4. Решить систему неравенств

(6)

для определения искомого интервала параметра и запаса продуктивности матрицы.

Пример 2. Найти запас продуктивности для матрицы

Решение. Заметим, что матрица является продуктивной, так как согласно теореме 2 максимум сумм ее элементов по каждому столбцу меньше единицы:

.

Аналогично можно показать, что максимум сумм ее элементов по каждой строке меньше единицы:

.

1) Составим матрицу

2) Вычислим определитель матрицы

3) Составим матрицу

4) Для определения искомого интервала параметра и запаса продуктивности матрицы составим систему неравенств (6)

Полученную систему можно упростить, учитывая, что неравенства

выполняются, так как . Тогда необходимо решить систему

(7)

Квадратное неравенство

решаем через дискриминант

Находим корни квадратного трехчлена :

.

Имеем два корня (принимаем )

.

Тогда неравенство имеет решение – интервал

.

Линейные неравенства

имеют соответственно решения

Итак, окончательно составим систему (7) из неравенств, заключенных в квадрат

Решением последней системы неравенств является множество

,

откуда находим запаса продуктивности матрицы

Ответ. Запас продуктивности модели Леонтьева