Введение в теорию построения тарифа

Рассмотрим пример определения нетто-ставки. Этот пример помо­жет ввести все необходимые переменные и понять ее компонентную структуру.

Допустим, что по однородной группе договоров застраховано N = 1000 объек­тов. Допустим, что вероятность наступления страхового случая также известна и равна q = 0,05. Допустим также, что в договоре записано, что страховая выплата по одному дого­вору соста­вит 30 000 руб.

Требуется определить размер премии и тарифную ставку.

Решение.

Зададимся вопросом: какое число страховых случаев произойдет наверняка? Ско­рее всего, это число будет колебаться вокруг их математического ожидания. В на­шей по­становке задачи мы явно имеем дело с биномиальным распределением. Для него матема­тическое ожидание будем иметь смысл естественного (наивероятнейшего) числа страхо­вых случаев и вычисляться по формуле:

Легко подсчитать, что для того чтобы удовлетворить требования этих 50 чел., необхо­димо иметь страховой фонд, равный

Если эту сумму нужно собрать с 1000 застрахованных, то в таком случае оче­видно, что размер основной части нетто-премии (без рисковой надбавки, а также на­грузки и при­были) должен составить

В процентах к страховой сумме, записанной в договоре, это составит

Получилась величина, в которой легко узнается заданная нам по условию веро­ят­ность наступления страхового случая q =0,05.

Вывод 1:

Тариф в чистом виде – это вероятность наступления стра­хового случая.

В нашем примере негласно был допущен целый ряд существенных упрощений, от которых необходимо освободиться, что приведет нас к пониманию структуры та­рифа.

Первое существенное упрощение: мы незаметно предположили, что страховая сумма и сумма страховой выплаты это одно и то же.

На практике сумма реальной выплаты всегда отличается от страховой суммы, запи­сан­ной в договоре. Страховая сумма определяется по соглашению сторон и пред­ставляет собой оценку максимально возможного, максимально вероят­ного или мак­симально до­пустимого ущерба[11]. Страховая выплата может быть меньше (что жела­тельно для страхов­щика), но иногда (при некоторых обстоятельствах[12]) может быть и больше страхо­вой суммы.

Если ввести это исправление в наш пример, то придется допустить, что рисков было несколько и по ним были разные выплаты. Тогда нам нужны:

∑S – общая страховая сумма по совокупности однородных договоров и

∑S_в – общая сумма выплаты по всем договорам за рассматриваемый период.

Итак:

Для того чтобы удовлетворить требования этих 50 чел. = qN, необходимо иметь страховой фонд, равный

Если эту сумму нужно собрать с N застрахованных, то очевидно, что размер ос­нов­ной части нетто-премии должен составить

Если разделить обе части уравнения на ∑S то получим тариф:

где – средняя сумма выплат, а – средняя страховая сумма по совокупно­сти однородных договоров.

Полученная формула называется основной формулой нетто-ставки:

Величина получила название показателя убыточности страховой суммы. По своему смыслу он напоминает вероятность выплаты суммы ∑S_в из собран­ного страхо­вого фонда ∑S.

Заметим, что основная формула нетто-ставки выглядит как результат при­менения тео­ремы умножения для одновременного появления двух незави­симых событий – одного с вероятностью q, а другого с вероятностью . Бо­лее того – это есть не что иное, как фор­мула полной вероятности того, что страховое событие А, т. е. страхо­вая выплата, выпадающая с вероятностью P_Bi(A)) может произойти при независи­мых гипотезах-рис­ках, выпадающих с вероятностью P(B_i).

Вывод 2:

Тариф прямо пропорционален не только вероятности наступления страхо ­ вого случая, но и показателю убыточности страховой сумм.

Второе существенное упрощение: мы были абсолютно уверены, что число стра­хо­вых событий будет равно их математическому ожиданию, т. е. Nq.

Это означает, что если событий будет больше, то страховая копания вынуждена будет отказаться от дальнейших выплат, что недопустимо. Поскольку все выплаты сверх собранного фонда угрожают существованию компании, то в дополнение к основ­ной части нетто-ставки необходимо ввести рисковую надбавку, которая будет содер­жать надеж­ность выполнения обязательствβ(γ, n) перед страхователями при гаран­тиях безопас­ности для страховой компании γ.

(2)

Рисковая надбавка Т_р предназначена для покры­тия возможного от­клонения ре­аль­ных выплат в предстоящий период от их среднего уровня, ее компози­ция выглядит сле­дующим образом:

(3)

Здесь:

β(γ, n) – коэффициентнадежности выполнения обязательств с уровнем безопасно­сти γ, его значения рекомендуются Росстрахнадзором в нормативных доку­ментах.

σ – среднеквадратическое отклонение фактических значений убыточности от теоретических значений, полученных из любой прогностической модели, чаще всего мо­дели регрессии.

Гарантия безопасности γ задается уравнением

(4)

Величина γ – есть вероятность того, что собранных взносов должно быть доста­точно для страховых выплат. Эта формула читается следующим образом: вероятность того, что сумма реальных выплат в будущем периоде будет отличаться от прогнози­руемой суммы выплат на бесконечно малую величину величину δ, должна быть равна созна­тельно выбираемому значению γ.

Значение γ выбирается руководством компании в зависимости от характера ан­дер­рай­терской политики. Чаще всего γ = 0,95, но Росстрахнадзор допускает значе­ния γ от 0,84 до 0,9986.

Как известно, величина δ носит название точность оценки. Она равна

Здесь t – решение уравнения Лапласа , так называемая критическая точка.

Вывод 3:

Тариф не только должен обеспечивать необходимый средний уро ­ вень стра­ховых выплат, но и содержать разумный уровень гарантий выполнения обязательств

Занижать уровень гарантий означает опрометчиво надеяться, что вам просто по­ве­зет.

Наконец, еще одно, последнее замечание. По условию задачи мы получили веро­ятность q как заданную, однако очевидно, что эта величина на практике является резуль­татом на­блюдения в течение наблюдаемого промежутка времени за прошедшие n лет:

Здесь k – число наступивших страховых случаев, N – число заключенных догово­ров. Это означает, что q есть не вероятность, а средняя частота наступления страховых событий.

Значение q во времени изменяется значительно медленнее, чем убыточность стра­ховой суммы, которая меняется гораздо сильнее[13]. Это позволяет нам предполо­жить, что основой тарифа является не столько q, сколько прогноз убыточности страхо­вой суммы .

Для получения такого прогноза нам необходимо зафиксировать табличную зависи­мость прошлых значений S_в за n лет и на ее основании построить ли­нейную модель регрессии, которая даст нам прогноз на предстоящий год.

Вывод 4:

Для построения тарифа необходимо знать две важнейшие харак­теристики страхуемого риска: · частоту его реализации и · прогнозируемые размеры предстоящих выплат

Если эти параметры оценке не поддаются, то такой риск страховать не следует.

После всего изложенного можно сформулировать методологические подходы к проблеме тарификации рисков и предпринять попытку понять, как устроены принятые Росст­рахнадзором действующие Методики расче­тов тарифных ставок по рисковым ви­дам страхования и по страхованию жизни.