Метод регрессионного анализа

Метод заключается в нахождении такой математической функции, которая обеспечивала бы описание изменения значений материального потока за предшествующие периоды и вычисление по этой функции значение прогноза.

В общем виде уравнение искомой функции может быть записано следующим образом:

N(t)=F(t)±δ

(2.5)

где F_(t) — значение функции в t-й год;

δ — погрешность, показывающая величину отклонения теоретических значений от экспериментальных.

Функция может иметь любой вид: полином, экспонента, логарифм и т.д. Выбор функции, наиболее точно описывающей заданные изменения материального потока осуществляется на основании минимизации значения погрешности δ, которое рассчитывается по формуле:

(2.6)

где N_(t) — значение материального потока в t-й год (фактическое);

n — число наблюдений;

р — число параметров в уравнении тренда (число неизвестных).

Примем для анализа две функции: линейную и полином 2-го порядка:

f(t)=a+bt	(2.7)
f1(t)=a+bt+ct2	(2.8)

где а — начальный уровень тренда;

b — средний абсолютный прирост в единицу времени, константа линейного тренда;

с — квадратичный параметр равный половине ускорения, константа параболического тренда.

Значения коэффициентов a, b, c определены с помощью метода наименьших квадратов.

Продифференцируем каждое уравнение и составим систему нормальных уравнений:

ü для линейного тренда:

(2.9)

ü для параболического тренда:

(2.10)

Для упрощения расчетов используем метод отсчета времени от условного начала. Обозначим в ряду изменения значений времени (t) таким образом, чтобы стала равна нулю.

Представим метод расчета и его результаты в виде таблицы (табл.2.2).

Таблица 2.2

Расчет параметров тренда

tiус
-2		-4	-8
-1		-1	-1
0.5
Σ	231,6				52,8	469,6		4,06		1,18

Перепишем уравнения с учетом и :

ü для линейного тренда:

(2.11)

ü для параболического тренда:

(2.12)

Отсюда:

ü для линейного тренда:

	(2.13)
	(2.14)

ü для параболического тренда:

(2.15)

Значения а и с для параболического тренда найдем, решив систему методом определителей:

	(2.16)
с	(2.17)

Подставив численные значения, определенные по табл.2.2, в уравнения (2.13)-(2.17), получим:

Для линейного тренда

а=231,6/5=46,32

в=52,8/10=5,28

для параболического тренда

в=52,8/10=5,28

а=(231,6*34-469,6*10)/(5*34-10*10)=45,4

с= (469,6*5-231,6*10)(5*34-10*10)=0,46

Подставим полученные значения параметров а, в и с в уравнения (2.7) и (2.8):

f(t_i)= 46,32+5,28t

f₁(t_i)=45.4+5.28t+0.46t².

Теперь рассчитаем значения функций при t_i= [-2;2]:

При t = –2

f(t_-2) =46,32+5,28·(-2)=35,8

f₁(t_-2) =45,4+5,28·(-2)+0,46·4=33,7

При t = –1

f(t_-1) =46,32+5,28·(-1)=41,0

f₁(t_-1) =45,4+5,28·(-1)+0,46·1=40,6

и так далее.

Рассчитанные значения f(t_i) и f₁(t_i) и суммы квадратов разностей теоретических и практических значений приведены в столбцах 8-11 табл.2.2.

Рассчитаем погрешности по формуле (2.6):

Для линейного тренда

Для параболического тренда

1,09

Так как 1,09<1,44, параболический тренд является боле предпочтительной функцией, т.е. F_(t)=f₁(t). В этом случае прогноз искомого параметра целесообразно определять по формуле параболического тренда, т.е.

F_{( 3 )} = 45,4+5,28·3+0,46·9=65,4 тыс. т/год

Графики N_(t) и F_(t) приведены на рисунке 2.1.

Графики функций N_(t) и F_(t).

Рис.2.1.

Варианты исходных данных для выполнения индивидуальных заданий приведены в прил.2