Метод Р.Р. Чугаева

Р.Р. Чугаев [34] этот метод называет еще методом плоских поверхностей сдвига, ибо он применим лишь в случаях, когда поверхность скольжения является плоской или состоит из отдельных прямолинейных участков.

В данном методе обозначаются: φ_д, c _д - действительные величины угла внутреннего трения и сцепления, т.е. величины, которыми характеризуется рассматриваемый грунт; φ_к, c _к - критические значения угла внутреннего трения и сцепления, т.е. те значения, которые надо придать грунту, чтобы рассматриваемый оползневой блок пришел в состояние предельного равновесия; τ_к, σ_к - критические величины касательного и нормального напряжений, т.е. величины, которые появляются в момент предельного равновесия.

Заменив действительный земляной откос моделью отвердевшего оползневого блока, можем составить для него, в результате расчета в соответствии с формулой τ_к = σ_кtg φ_к + c _к, соответствующее уравнение предельного равновесия в виде

c _к = f ₁(tg φ_к) или c _к = f ₂(φ_к). (37)

Графически это уравнение представлено на рис. 5 кривой ab, которая называется кривой связи. Каждая точка этой кривой дает нам пару значений c _к и φ_к, при которых рассматриваемый блок находится в состоянии предельного равновесия. Через φ_к^о обозначено то значение φ_к, при котором c _к = 0; через c _к^о обозначено то значение c _к, при котором φ_к = 0. Непосредственные подсчеты показывают, что кривая связи ab, как правило, близка к прямой.

Если значения φ_д и c _д дают точку m, лежащую ниже кривой связи ab, то рассматриваемый оползневой блок является неустойчивым, так как слагающий его грунт имеет характеристики сдвига менее критических значений. Если же величины φ_д и c _д дают точку n, лежащую выше кривой связи ab, то рассматриваемый блок находится в устойчивом равновесии; при этом чем дальше точка n располагается от кривой ab, тем больший запас устойчивости имеет данный массив грунта.

Рис. 5. Кривые связи

Чтобы исправить погрешности принятой модели отвердевшего тела и приближенного способа расчета этой модели, а также погрешности в определении принятых для расчета величин φ_д и c _д, полученную расчетом прямую связи ab переносим параллельно самой себе на некоторое расстояние в положение a'b', т.е. в положение линии, проведенной через заданную точку n параллельно теоретической кривой связи ab. Именно эта прямая a'b' есть прямая связи, проведенная с надлежащим запасом. Искомый коэффициент запаса K _у должен в аналитической форме отражать перенос прямой ab в положение a'b'. Поэтому в данном методе принимается, что для величины K _у можно написать, например, выражения (см. рис. 5):

K _у = (tg φ_д)/tg φ_к = c _д/ c _к (38-а)

или

K _у = φ_д/φ_к = c _д/ c _к. (38-б)

Далее расчет устойчивости склона, основанный наиспользовании модели отвердевшего блока обрушения, сводится к расчету ряда произвольно заданных отсеков обрушения. При этом в процессе рассмотрения того или иного произвольно заданного блока в общем случае последовательно решаются две независимые друг от друга задачи:

1) рассчитывается так называемая предельная схема данного оползневого блока, причем, исходя из уравнения предельного равновесия, относящегося к этой схеме, устанавливаются критические значения угла внутреннего трения и силы сцепления грунта;

2) зная эти критические величины, устанавливается на их основе численное значение коэффициента запаса устойчивости данного оползневого блока.

В выводах Р.Р. Чугаева [34] уравнение предельного равновесия для оползневого блока, ограниченного снизу произвольной поверхностью сдвига (образованной несколькими плоскостями), дается для нескольких способов расчета:

а) способа горизонтальных сил взаимодействия, основанного на допущении, что η = 0, где η - угол наклона к горизонту силы E взаимодействия, передающейся от одного вертикального отсека к соседнему через боковую вертикальную поверхность;

б) способ предельно наклонных сил взаимодействия, основанный на допущении, что η = Ψ_рк, где Ψ_рк - критический угол сдвига (равный в случае сыпучего грунта величинеφ_к);

в) способ наклонных сил взаимодействия, основанный на допущении, что η = 0,5 Ψ_рк.

Однако при выборе наиболее рациональных способов расчета Р.Р. Чугаев доказывает, что в случае обычных земляных откосов, когда β ≤ 50 - 60°, следует пользоваться способом наклонных сил, основанном на допущении, что η = 0,5Ψ_рк. Поэтому мы будем здесь рассматривать только этот способ.

Рис. 6. Метод Р.Р. Чугаева

Представим на рис. 6 оползневой откос, ограниченный снизу заданной поверхностью скольжения 1 - 2 - 3 - 4 - 5, которая образована несколькими плоскостями. Разобьем оползневой блок вертикалями на соответствующее число отдельных отсеков (принимаемых далее твердыми телами). Считаем, что силы E взаимодействия между отдельными отсеками, передающиеся через их вертикальные границы, наклонены к горизонту под углами η _i = 0,5Ψ_{р i} . Далее строим на рис. 6 соответствующие многоугольники сил, в которых N '_{к i} - реакция основания в момент предельного равновесия, действующая на подошву i -го отсека и подсчитанная с учетом сил N _{к i} , T _{к i} , c _{к i} . Затем составляем уравнения равновесия, проектируя все силы на горизонтальную ось. При этом считаем, что предельное равновесие имеет место не только в районе поверхности сдвига, но и в районе всех вертикальных границ, которыми мы разбиваем оползневой блок на отдельные отсеки. Причем в процессе данных выводов эффект действия сил сцепления заменяется эффектом, который получается в результате обжатия грунта в отдельном отсеке всесторонним нормальным давлением интенсивностью

q = c _к/tg φ_к. (39)

В результате определенных преобразований (подробный вывод можно найти в книге Р.Р. Чугаева [34]) получается уравнение предельного равновесия для однородного связного грунта:

(40)

где

(41)

z_i - разность отметок поверхности земли с левой и с правой сторон отсека (например, точек 3' и 4' на рис. 6; если отметка точки 4' больше отметки точки 3', то z_i приобретает отрицательное значение).

Пользуясь уравнением предельного равновесия (40), можно легко построить для данного оползневого блока кривую связи c _к = f (φ_к). Для этого, зная размеры блока, следует задаваться величиной φ_к и затем по формуле (40) вычислять соответствующие значения c _к. То есть уравнение предельного равновесия решается только подбором.

При рассмотрении равновесия отдельного отсека, кроме того, отыскивается вектор геометрической суммы сил E_i ' и E_i ", действующих на данный отсек слева и справа:

Δ E_i = E_i ' + E_i ", (42)

а также величина горизонтальной проекции Δ E_xi этого вектора (для однородного связного сухого грунта):

Δ E_xi = ±P_iA_oi cos (φ_к/2) - { A_oi cos (ω_к/2)[ z_i ctg (α _i φ_к) a_i ] + (h_i " - h ' _i)} c _к/tg φ_к, (43)

где z_i, h'_i, h"_i - геометрические размеры, показанные на рис. 6 для третьего отсека. Причем z_i не есть разница между h'_i и h"_i, а превышение левой верхней точки отсека над правой (при наклонной подошве отсека это не одно и то же).

Величины z_i и (h"_i - h'_i) могут быть как положительными, так и отрицательными; угол α _i всегда должен считаться положительным.

Применяя принципы теории предельного равновесия к запредельному состоянию, можем допустить, что горизонтальная составляющая суммарного оползневого давления в конце n -го отсека будет равна:

E _оп = (44)

или

(45)

В написанных зависимостях верхний знак отвечает нисходящей (падающей), а нижний - восходящей (поднимающейся) поверхности сдвига. В случае отсека, имеющего горизонтальную подошву, можно пользоваться или верхними знаками или нижними - результат расчета от этого не должен изменяться.

При определении оползневого давления в запредельном состоянии склона сдвиговые характеристики грунта c_к и φ_к, с определенным допущением, можно принимать для состояния предельного равновесия. При этом, если в склоне уже появлялись оползневые подвижки, сдвиговые характеристики можно определять непосредственно для грунта, находящегося в уровне поверхности скольжения. В таком случае рекомендуется применять методы натурного определения c и φ непосредственно в шурфе.

Далее преобразовываем приведенные выше зависимости для случая неоднородного грунта, а также учета фильтрационных и сейсмических сил.

Следует различать неоднородность грунта в отношении его объемного веса и в отношении его прочностных характеристик φ_д и c _д.

Учет неоднородности в отношении γ осуществляется относительно просто. В уравнение предельного равновесия (40) и формулу оползневого давления (45) входят величины собственного веса отдельных отсеков, на которые разбивается данный оползневой блок. Очевидно, что в случае, когда тот или другой рассматриваемый отсек состоит из частей, образованных грунтом разного объемного веса, величина которого нам задана, то возможно подсчитать собственные веса этих отдельных частей, а затем их сложить. Или же для всего отсека принимать средневзвешенное значение объемного веса грунта.

Учет неоднородности грунта в отношении φ_д и c _д осуществляется в рассматриваемом методе расчета следующим образом.

В процессе всех вычислений принимаем в расчет только те величины φ_д и c _д, которые относятся к грунту, расположенному непосредственно вблизи поверхности скольжения. Значениями φ_д и c _д, относящимися к грунту, расположенному внутри оползневого блока (вдали от поверхности скольжения), не интересуемся. Поэтому с целью облегчить расчет, разбиваем оползневой блок на отсеки таким образом, чтобы в пределах подошвы каждого отдельного отсека грунт был бы однородным в отношении φ_д и c _д. Кроме того, чтобы не усложнять расчет, будем принимать угол сдвига Ψ_рк не для грунта, расположенного в районе граничной вертикали, расчленяющей оползневой блок на отсеки (как это требуется), а для грунта в районе рассматриваемого участка поверхности скольжения (часто эти углы по величине совпадают).

Следующее допущение связано с вопросом о доведении данного действительного оползневого блока до его предельной схемы.

Чтобы получить предельную схему, представим себе, что прочностные характеристики грунта φ_д и c _д постепенно уменьшаются до тех пор, пока рассматриваемый оползневой блок не придет в состояние предельного равновесия. При этом считаем, что в процессе такого воображаемого уменьшения прочностных характеристик величина отношения между отдельными характеристиками (между отдельными значениями φ_д или между отдельными значениями c _д) все время сохраняется постоянной. Теперь выберем произвольно какой-то участок поверхности скольжения и назовем его основным. Он будет обладать прочностными характеристиками φ_д^ос и c _д^ос, а при переходе к предельной схеме - критическими характеристиками φ_к^ос и c _к^ос. Допущение заключается в том, что, если для какого-то i -го отсека φ_{д i} /φ_д^ос = ε _i и c _{д i} / c _д^ос = μ _i, то φ_{к i} /φ_к^ос = ε _i и c _{к i} / c _к^ос = μ _i. Очевидно, каждый участок поверхности скольжения здесь характеризуется своим постоянным значением коэффициентов ε и μ. Кривую связи в данном случае приходится строить в виде кривой

c _к^ос = f (φ_к^ос) или c _к^ос = f [(tg φ_к)^ос]. (46)

Учитывая принятые допущения, можем на основании общих выводов [34] написать уравнение предельного равновесия для сухого связного неоднородного (в отношении φ_д и c _д) грунта в следующем виде:

(47)

где

(48)

Ясно, что в этих выражениях произведения ε _i φ_к^ос и μ _ic _к^ос представляют собой критические прочностные характеристики грунта в каждом i -ом отсеке. Если эти характеристики φ_{к i} = ε _i φ_к^ос и c _{к i} = μ _ic _к^ос могут быть каким-либо образом определены, то возможно получение уравнений равновесия для основного участка:

(47-а)

где

(48-а)

Соответственно оползневое давление выразится формулой

(49)

В способы учета фильтрационной и сейсмической силы, предложенные Р.Р. Чугаевым, внесем некоторые изменения. Дело в том, что Р.Р. Чугаев рассматривает лишь случаи устойчивости откосов земляных плотин в гидротехническом строительстве. Для таких сооружений учет действия воды, разумеется, гораздо сложнее, чем для естественных склонов с неполным водонасыщением грунта. В гидротехнических сооружениях требуется учитывать действие давления сплошной акватории с одной стороны насыпи, возможность быстрых спадов уровня воды в водохранилище, интенсивную фильтрацию наружу откоса или внутрь его и т.д. Мы же рассматриваем лишь действие грунтовых вод, находящихся в естественном склоне в покое или фильтрующихся наружу откоса (нередко даже в виде отдельных струйчатых потоков). Поэтому мы упростим способ определения гидравлической силы j_i, предложенный Р.Р. Чугаевым, и примем его таким же, как и для других рассматриваемых нами методов расчета. Более просто будем учитывать и сейсмические воздействия (также аналогично учету в других методах расчета). В работе же [34] Р.Р. Чугаев предлагает особый способ расчета устойчивости откоса с учетом сейсмических сил, названный им способом поворота откоса (см. выше). В процессе указанных упрощений отдельно наклон рассматриваемых сил не будем учитывать, так как значительное усложнение расчета не оправдывается получаемым уточнением.

При таких допущениях уравнение предельного равновесия и формула оползневого давления для связного неоднородного грунта с учетом гидродинамической и сейсмической сил выразятся выражениями

(50)

(51)

Расчет устойчивости откоса (определение коэффициента устойчивости K _у) по методу Р.Р. Чугаева (при использовании способа наклонных сил) строится следующим образом: исходя из соответствующего уравнения предельного равновесия, составленного для рассматриваемого оползневого блока, находится величина tg φ_к (или φ_к), затем по формуле (38-а) или (38-б) вычисляется искомая величина K _у.

При этом, как правило, расчету следует подвергать не заданный оползневой блок, а несколько упрощенную его схему: различные детали, касающиеся, например, очертания откоса или грунтов, слагающих его тело, при расчете следует опускать, если заранее очевидно, что они не могут существенно влиять на окончательные результаты расчета. При вычислении tg φ_к (или φ_к) обычно применяется способ пробных попыток. Для этого можем, например, использовать графический прием, представив уравнение предельного равновесия в виде функции F (φ _к). Особенно это удобно в случае однородного сыпучего грунта, когда c _к = 0. Тогда величину F (φ _к) подсчитывают для различных углов φ _к и строят кривую F (φ _к) на графике зависимости F (φ _к) от φ _к. Искомое значение φ _к будет то, при котором величина F (φ _к) обращается в нуль.

Однако возможно определять K _у сразу, без промежуточного определения φ_к. В таком случае коэффициент устойчивости склона определяется (подбором или графически) из уравнения

F ₁(K _у) = F ₂(K _у), (52)

где (учитывая выражения (38-а) и (38-б))

F ₁(K _у) = (53)

F ₂(K _у) = (54)

В этих зависимостях

(55)

Далее, задаваясь различными значениями K _у = 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4, на общем графике строятся кривые функций F ₁(K _у) и F ₂(K _у). Точка пересечения этих кривых (рис. 7) дает искомое значение K _у. То есть коэффициент устойчивости K _у рассматриваемого склона равен значению, при котором становятся тождественно равными функции F ₁(K _у) и F ₂(K _у).

Для однородных грунтов уравнение предельного равновесия будет иметь вид

(56)

где

В таком случае имеется еще один способ определения коэффициента устойчивости K _у. Для этого по уравнению (56) строят график-кривую связи (см. рис. 5), задаваясь произвольными значениями φ_к и определяя c _к. Все точки кривой связи для данного оползневого блока удовлетворяют условию K _у = 1. На график наносится также точка п с нормативными значениями tg φ и c, через которую проводится линия, параллельная кривой связи и луч on через начало координат 0 графика. Далее коэффициент устойчивости склона определяется по одному из соотношений:

(57)

При заданном K _у (то есть при проектировании удерживающих конструкций, обеспечивающих требуемый коэффициент запаса устойчивости по сравнению с предельным состоянием) оползневое давление может быть представлено выражением

, (58)

где

(59)

Рис. 7. Определение K _у методом Р.Р. Чугаева

В данном выражении φ_{к i} и c _{к i} - значения прочностных характеристик грунта, определенные натурными методами для каждого из отсеков оползневого блока, требующего укрепления (то есть находящегося в состоянии, близком к предельному). Если же предполагается укрепление склона, состояние которого в данный момент устойчиво, но может приблизиться к предельному в результате внешних воздействий (подрезка склона, нагружение его и т.д.), то для таких условий натурно устанавливаются φ_д и c _д, а затем определяются φ_к и c _к с помощью уравнения предельного равновесия (методом пробных попыток).

Подсчитывать давление при K _у = 1 и затем умножать итоговую цифру на коэффициент устойчивости нельзя, так как это неизбежно занижает суммарную величину оползневого давления. При последовательном суммировании по уравнению (58) величин для каждого последующего сечения следует проверять знак получаемой суммы. Если для какого-либо сечения результирующая сумма будет равна нулю или приобретет отрицательный знак, отсеки выше этого сечения при суммировании не учитываются, так как имеют собственный запас устойчивости (равный или больший требуемого) и не оказывают давления на нижележащие участки.

Рассмотренный метод Р.Р. Чугаева имеет важное теоретическое значение. Однако в практическом смысле он более применим, как мы уже видели, для искусственных откосов гидротехнических сооружений. Для расчета устойчивости естественных оползневых склонов его использование менее оправдано по следующим причинам. Метод исходит из того, что в момент расчета устойчивости откоса прочностные характеристики слагающего его грунта более критических - тех, которые возникнут в этом же грунте при достижении им состояния предельного равновесия. То есть, рассчитывается откос, коэффициент устойчивости которого, как правило, более единицы. Проектирование же удерживающих конструкций и противооползневых мероприятий ведется обычно для укрепления неустойчивых или опасных в оползневом отношении склонов, у которых обычно коэффициент устойчивости менее или близок к единице, а значения определенных натурным путем в данный момент прочностных характеристик близки к критическим. По сути, в таком случае нам известны φ_к и c _к и неизвестны φ_д и c _д, то есть K _у этим методом определить невозможно. Разумеется, можно возразить, что при наличии φ_к и c _к коэффициент устойчивости должен равняться единице. Однако вспомнив наше допущение о применении принципов теории предельного равновесия к запредельному состоянию, поймем, что коэффициент устойчивости склона (с конфигурацией, которую мы ему собираемся придать, восстановив после оползания и укрепив удерживающей конструкцией) может быть и менее единицы. Следовательно, применять метод Р.Р. Чугаева для расчета коэффициента устойчивости неустойчивых или малоустойчивых склонов, без дополнительных преобразований, несколько неверно.

Способ же определения оползневого давления по написанной выше формуле (58) следует опробовать в сравнении с другими рассматриваемыми в данной работе методами.

Несколько теряет метод Р.Р. Чугаева и в том отношении, что уравнение предельного равновесия решается (в отношении φ_к и K _у) методом подбора. Кроме того, методы учета действия гидродинамической и сейсмической сил, вполне приемлемые для случаев расчета гидротехнических сооружений (для которых они и разработаны Р.Р. Чугаевым), для расчета обычных естественных склонов неоправданно сложны.