Следствие из теоремы Лапласа

1) Определитель равен сумме произведений элементов фиксированной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

	(2)
	(3)

Разложения (2) и (3) называют разложением определителя по строке с №k (по столбцу с №j).

Формулы (2) и (3) сводят вычисления определителя порядка n к вычислению k определителей порядка n-1. Это позволяет использовать в качестве определения определителя, полагая его известным при n=1.

2) Пусть B = , обозначим, , определитель, полученный из определителя (1) заменой столбца с номером k на столбец с номером b.

Ясно, что алгебраические дополнения у элементов столбца с номером k, у определителя такие же как и алгебраические дополнения этого столбца у исходного определителя.

Тогда в силу формулы (3) получим, что

(4)

Будем теперь вместо B в полученную формулу подставлять столбцы сходного определителя. Если мы подставим вместо B любой другой столбец с номером, отличным от k, то получим определитель с 2-мя одинаковыми столбцами, который в силу свойств равен 0.

Если же мы подставим с номером совпадающим с номером k, то мы получим исходный определитель.

(5)