Обратная теорема

Точки A₁, B₁, C₁ принадлежат прямым BC, CA, AB, соответственно, т.е. лежат на сторонах треугольника ABC, или их продолжениях ABC, при этом

, тогда точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.

Доказательство

Предположим, что точка С₁ не лежит на прямой B₁C₁ , пусть C^* - точка пересечения прямых A₁B₁ и AB. Тогда, согласно прямой теореме Менелая, , а по условию , откуда и следовательно, точка С₁ совпадает с точкой C^* . Получили точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой. Доказательство закончено.

Прямая и обратная теоремы могут быть объединены в одну:

Пусть точки A₁, B₁, C₁ расположены на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC или на их продолжениях соответственно. Для того, чтобы точки A₁, B₁, C₁ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы .

9.1 *. a)Отрезок стороны треугольника ABC от вершины A до точки касания вписанной окружности со стороной AC равен p- a, где p – полупериметр треугольника ABC, a – сторона треугольника. АК = p-a.

Дано: ∆ ABC, K – точка касания вписанной в треугольник окружности со стороной AB.

Доказать: АК = p-a.

Доказательство

Пусть точки M и N – точки касания окружности со сторонами AC и CB соответственно.

По свойству 15.10 AK = AM, BK= BN, CM= CN. Тогда 2 AK = AB + ВС + AC – 2BN- 2 CN = P_ABC – 2 BC,

АК = p-a, что и требовалось доказать.

b) Отрезок стороны AC треугольника ABC от вершины A до точки касания вневписанной окружности равен p- с, где p – полупериметр треугольника ABC, с – сторона треугольника. АК = p-с.

Дано: ∆ ABC, K – точка касания вневписанной в треугольник окружности со стороной AС.

Доказать: АК = p-с.

Доказательство

Пусть точки M и N – точки касания окружности с продолжением сторон AB и CB соответственно.

По свойству 15.10 AK = AM, по свойству 9.2 B M = ½ P _ABC, тогда

AK = AM = BM- AB = ½ P _ABC – AB = p- c, что и требовалось доказать.