Интервальные оценки параметров наблюдений

Интервальные оценки позволяют находить доверительные интервалы, между границами которых с определенными доверительными вероятностями находятся истинные значения оцениваемых параметров. Они позволяют найти не только числовое значение параметра, но и оценить его точность и надежность [6].

Если в результате обработки выборки X₁; X₂;…¾;X_n будем иметь две статистические характеристики и такие, что при любом значении Z будем иметь вероятность

Причем a>0 и мало. Интервал называют доверительным интервалом для параметра z, отвечающей доверительной вероятности P=1-a.

Рассмотрим определение доверительного интервала для математического ожидания измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений X_i подчиняется нормальному закону распределения и известны его дисперсия и с.к.о. .Для оценки математического ожидания используется характеристика распределенная нормально. Для всякого мы можем найти такое , что

Следовательно, интервал будет доверительным для оценки , отвечающей доверительной вероятности P=1-a. Параметр называется уровнем значимости.

Рисунок 4

На рисунке 4 показаны интервалы длина которых зависят лишь от взятого значения , а центры этих интервалов, определяемые конкретными значениями меняются от выборки к выборке. Если будем повторять выборки и для каждой из них определять границы доверительного интервала, то при большем числе опытов частость или доля тех интервалов, которые будут накрывать неизвестное значение , будет мало отличаться от P=1-a.

При малых выборках распределение границ доверительных интервалов отличается от нормального закона распределения. Когда распределение исходных данных нормально, но дисперсия распределения неизвестна, параметр t доверительного интервала при малых выборках называется дробью Стьюдента . Входящие в нее и определяются как точечные оценки математического ожидания и с. к. о. Плотность распределения этой дроби подчиняется распределению Стьюдента, определяемого как

где - называется - функцией.

Вероятность того, что дробь Стьюдента примет некоторое значение в интервале вычисляется по формуле

или в силу симметричности распределения Стьюдента

Раскрывая выражение для дроби Стьюдента, получим

При нахождении доверительных интервалов для дисперсии и с.к.о. при нормальной выборке с объемом n<30 отношение имеет (хи-квадрат) распределение Пирсона с k=n-1 степенями свободы. Его дифференциальная функция распределения описывается зависимостью

Кривые плотности распределения для различных значений k представлены на рисунке 5. Кривая интегральной функции распределения имеет вид:

Рисунок 5

Пользуясь этой кривой, можно найти доверительный интервал для оценки дисперсии результатов наблюдений при заданной доверительной вероятности. Этот интервал должен строится таким образом, чтобы вероятность выхода дисперсии за его границы не превышала некоторой малой величины q, причем вероятности выхода за обе границы интервала были бы равны между собой и составляли бы q/2. Для асимметричного распределения Пирсона пример таких границ показан на рисунке 6.

Рисунок 6

Границы такого доверительного интервала находят из равенства

Теперь можно найти границы доверительного интервала для дисперсии как

И соответственно для с.к.о.

Последнее означает, что с вероятностью истинное значение среднего квадратического отклонения результатов наблюдений лежит в интервале , границы которого равны