Методы решения задачи

Модель замкнута, число уравнений и неизвестных совпадают. Решение задачи возможно в нескольких вариантах:

· на базе аналитического решения системы уравнений для каждого стержня с последующим решением большой линейной системы уравнений для отыскания произвольных постоянных,

· на базе численного интегрирования большой системы дифференциальных уравнений с удовлетворением граничным условиям, условиям сопряжения и равновесия узлов(в нашем примере 30 уравнений),

· специальными методами сопротивления материалов и строительной механики, позволяющими в некоторых случаях уменьшать порядок задачи или разбить ее на несколько задач меньших порядков, и решать аналитически или графоаналитически.

Первый способ возможен лишь в тех частных случаях, когда есть аналитическое решение для каждого отдельного стержня. Например, когда все стержни только растягиваются, только скручиваются, только изгибаются. Последнее практически не реализуемо при ломаной оси, так как при этом неизбежно растяжение-сжатие с изгибом. Здесь в расчетах обычно пренебрегают влиянием растяжения-сжатия на изгиб, считая, что силы сжатия много меньше критических, и пренебрегая перемещениями от растяжения в сравнении с перемещениями от изгиба. Примеры задач для ступенчатых валов и рам приводятся в учебниках, и нами рассматриваться не будут, так как численное решение дает результат с меньшими затратами. Например, решая раму из 4 стержней, необходимо в итоге решать систему линейных алгебраических уравнений с 10-14 неизвестными, что практически возможно только численно.

Второй способ просто реализуется на ЭВМ, например в Excel или Matcad. При этом можно существенно понизить порядок некоторых задач. Примеры этого для неразрезных балок и рам приведены на лекции 10 и будут рассмотрены нами на практике и при выполнении домашних заданий.

Третий способ предполагает применение одного из двух методов: метода сил или метода перемещений.

Метод сил эффективен в задачах с небольшой степенью статической неопределимости при расчете на прочность. Он, в сочетании со специальными методами определения перемещений в конкретной точке и конкретном направлении (методы Мора, Кастильяно и Верещагина), позволяет понизить порядок задачи, и разбить задачу данного порядка на несколько задач меньших порядков. Пока не было ЭВМ, и задачи решались, в основном, вручную, метод был эффективен. Ниже мы рассмотрим пример применения метода.

Метод перемещений предполагает предварительное вычисление сил через перемещения с последующим составлением и решением системы уравнений равновесия, в которой неизвестны только параметры перемещений, т.е. меньшего порядка. Затем силы (и напряжения) вычисляются через перемещения. Метод особенно эффективен при малом числе узлов. Например, для плоского колеса со спицами неизвестны два перемещения при любом числе спиц. Метод широко применяется при современном численном подходе (например, в методе конечных элементов – МКЭ) в сочетании с теоремой Лагранжа – Дирихле. Мы ограничимся рассмотрением его для расчета плоских ферм.