Математическая модель

Стержневые системы

Стержневой системой будем называть совокупность нагруженных и соединенных между собой стержней. В нашем курсе ограничимся плоской задачей, когда главные центральные оси всех стержней и нагрузки действуют в одной плоскости. В принципе, пространственная задача решается аналогично, но более громоздка.

Математическая модель

Плоская стержневая система, состоящая из n стержней, в общем случае, описывается системой 6· n дифференциальных уравнений первого порядка (для каждого стержня, например, 5.4 или 5.5).

Для интегрирования и отыскания произвольных постоянных необходимо сформулировать 6· n условий. В общем случае это:

· Граничные условия – геометрическое и силовое описание условий сопряжения стержневой системы со стойкой,

· Условия равновесия узлов – точек стержневой системы, где соединяются два и более стержней,

· Условия сопряжения стержней – геометрическое и силовое описание способа соединения стержней в узлах.

Рассмотрим на простом примере. Стрелками указано условное направление стержней от начала к концу. Необходимо сформулировать 30 условий.

· Граничные условия (9 условий в трех точках)

1. – отсутствуют: перемещение в вертикальном направлении, сила в горизонтальном и изгибающий момент, т.е.

2. – отсутствуют: перемещения и изгибающий момент, т.е.

.

3. – отсутствуют: перемещения и угол поворота, т.е.

.

· Условия равновесия узлов (6 условий в двух узлах)

- сумма проекций сил на горизонталь и вертикаль и сумма моментов в

плоскости равны нулю, т.е.

1.

.

2.

· Условия сопряжения стержней (15 условий для 5-ти независимых сопряжений), т.е.

Стержни 1 – 2: равны проекции абсолютных перемещений на горизонталь и вертикаль и углы поворотов, т.е.

,

,

.

Стержни 1 – 3: равны проекции абсолютных перемещений на горизонталь и вертикаль и углы поворотов, т.е.

,

,

.

Стержни 2 – 4: равны проекции абсолютных перемещений на горизонталь и вертикаль и не предается момент, т.е.

,

,

.

Стержни 3 – 5: равны проекции абсолютных перемещений на горизонталь и вертикаль и не передается момент, т.е.

,

,

.

Стержни 4 – 5: равны проекции абсолютных перемещений на горизонталь и вертикаль и не предается момент, т.е.

,

,

.