Решение. Вычисляем частости попадания случайной величины (времени разгрузки) в разряды:

Вычисляем частости попадания случайной величины (времени разгрузки) в разряды:

; ;

;……. =0,011.

Результаты заносим в колонку 5 табл. 9.2.

Строим гистограмму распределения частостей (рис. 9.6). Рассматривая рис. 9.6, предполагаем, что время разгрузки автомобилей следует показательному закону.

Вычисляем среднее арифметическое длительности времени разгрузки (математическое ожидание):

мин,

следовательно, имеют место μ = 2 разгрузки автомобилей/ч.

Вычисляем теоретические вероятности попадания P_i в разряды.

Применяем при этом приближенный метод вычислений, когда вероятности попадания в разряды определяются по приближенной формуле

P_i (d_i < t_i < β_i) =

Логарифмируем выражение и получаем

ℓq m_i = ℓq N + ℓq μ - μt_i ℓq e + ℓq ∆t. (9.5)

Положим,

ℓq m_i = y; t_i = x_i; - μ ℓq e = а;

ℓq N + ℓq μ + ℓq ∆t = b.

Известно, что в логарифмических координатах уравнение (9.5) представляется в виде прямой линии

y = ax + b.

Для рассматриваемого примера

b = ℓq 175 + ℓq 0,0335 + ℓq 10 = 2,243 + 2,525 + 1 = 1,768.

Поэтому для середины первого интервала

ℓq m₁ = -0,0335·0,433·5 + 1,768 = 1,694.

Потенцируя по таблицам антилогарифмов, получаем m₁ = 50.

Для середины второго интервала t_2cр.

ℓq m₂ = -0,0335·0,433·15 + 1,768 = 1,55.

Потенцируя, получаем m₂ = 36.

Аналогичными вычислениями получаем теоретические частоты попадания случайной величины в остальные разряды: m₃ = 25; m₄ = 18; m₅ = 13 и так далее.

Полученные значения теоретических частот заносим в графу 6 табл. 9.2, на основании которых строим на рис. 9.6 теоретическую кривую показательного закона, выравнивающую опытную гистограмму.

Проверяем гипотезу о принадлежности экспериментальных данных показательному закону по критерию согласия Пирсона (при уровне значимости х=0,1). Для этого вычисляем критерий xи-квадрат Пирсона:

.

Входим в таблицу xи-квадрат Пирсона (приложение 3) при числе степеней свободы Ч = К – S = 12 – 2 = 10, при этом получаем

Р(х ²; Ч) = Р(9,22; 10) = 0,342 > 0,1.

Следовательно, гипотеза о принадлежности экспериментальных данных наблюдений времени разгрузки автомобилей к показательному закону при уровне значимости 0,1 не отвергается.

Проверяем также принятую гипотезу по критерию Романовского, согласно которому должно выполняться неравенство (9.4). Неравенство выполняется.

Вычисляем величину доверительного интервала разброса среднего арифметического (математического ожидания) времени разгрузки при доверительной вероятности 95 %. Полуинтервал разброса равен

мин,

где σ_(t) = = 29,97 – для показательного закона среднее квадратическое отклонение равно математическому ожиданию: arqФ (P_q = 95 %) = 1,96 – берется по таблице Лапласа (см. приложение 4).

Двусторонний доверительный интервал составляет

29,97 – 16,5 < M_(m) <29,97 + 16,5;

13,5 мин. < M_(m) < 46,5 мин.

Это значит, что с вероятностью 95 % время разгрузки автомобилей будет не меньше 13,5 мин и не больше 46,5 мин.

Заключение

Установлено, что процесс разгрузки автомобилей следует вероятностному показательному закону.

Из предыдущего примера 9.1 следует, что в очередь на обслуживание на базе при 4 разгрузочных постах будет попадать в среднем один автомобиль из десяти, а девять из десяти будут становиться сразу на разгрузку.

Из примера 9.2 следует, что время ожидания разгрузки для стоящего в очереди автомобиля с вероятностью 95 % не будет превышать 46,5 мин.

9.4. Вероятностные временные модели доставки грузов

Создание общей вероятностной модели транспортного процесса на базе отдельных вероятностных моделей его составляющих требует корреляционно – спектрального анализа между отдельными составляющими. При наличии слабой корреляционной связи или отсутствии таковой возможно простое объединение отдельных составляющих в общую систему.

Например, транспортный процесс доставки груза включает четыре составляющих – погрузку, движение между пунктами, выгрузку и негруженый пробег к пункту следующей погрузки. Проверка показала отсутствие парной корреляции между рассматриваемыми составляющими транспортного процесса (имеет место случай, показанный на рис. 2.1,а). Для этого случая аналитическая вероятностная модель для расчета затрат времени Т₁ на доставку груза с доверительной вероятностью 90 % будет иметь вид

Т₁ = Т_п + Т_qв + Т_в + Т_х ± ∑ (∆t_п + ∆t_qв+ ∆t_в+ ∆t_х), (9.6)

где Т_п, Т_qв, Т_в, Т_х – соответственно среднее арифметическое (математическое ожидание) значение времени погрузки, движения между пунктами, выгрузки и порожнего пробега; ∆t_п, ∆t_qв, ∆t_в, ∆t_х – соответственно односторонние доверительные интервалы разброса среднего арифметического времени погрузки, движения между пунктами, выгрузки и негруженого пробега, вычисленные при доверительной вероятности 98 %.

При этом распределение времени на весь транспортный процесс будет стремиться к нормальному вероятностному закону, являющемуся частным случаем закона Пуассона.

При обнаружении сильных корреляционных связей между отдельными составляющими модель (9.6) не может использоваться. Например, обнаруживается тесная корреляционная связь между процессом погрузки и выгрузки (имеет место технологическая связь процессов). В этом варианте мы имеем случай, показанный на рис. 2.1,в. При этом следует рассматривать погрузку-выгрузку как единый процесс с отличными от других параметрами вероятностного закона распределения. Модель для доверительной вероятности 90 % будет иметь вид (9.7)

Т₂ = Т_пв + Т_qв + Т_х ± ∑ (∆t_пв + ∆t_qв+ ∆t_х), (9.7)

где Т_пв – среднее арифметическое процесса погрузки-выгрузки; ∆t_пв– односторонний доверительный интервал разброса среднего арифметического времени погрузки-выгрузки.

Вычисления составляющих для модели (9.7) необходимо проводить с доверительной вероятностью 96 %.

Для аналитического проектирования совместного процесса погрузки-выгрузки f_пв(t) на базе тесно коррелирующих процессов погрузки f_п(t) и выгрузки f_в(t) следует использовать метод корреляционно-спектрального анализа. При этом нужно получить спектры обоих процессов Ф_п и Ф_в путем прямого финитного (в конечном интервале времени) преобразования Фурье. Далее на базе Ф_п и Ф_в построить совместный спектр процесса погрузки-выгрузки Ф_пв и путем обратного преобразования Фурье получить график распределения плотности вероятности совместного процесса f_пв(t) для временной области.

Полученную зависимость f_пв(t) следует анализировать на соответствие виду вероятностного закона; нахождению характеристик распределения, математического ожидания, доверительного интервала.

В общем случае общая зависимость f_пв(t), получаемая на базе процессов, подчиняющихся законам Пуассона, Эрланга и показательному, должна стремиться к нормальному закону распределения вероятности.

9.5. Статистический метод моделирования Монте-Карло

Если система массового обслуживания не является пуассоновской, ее расчет с помощью аналитических методов становится сложным. Искомое решение легче получить, используя метод статистических испытаний, – численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных процессов и событий, который получил название метода Монте-Карло. Этот метод разработан и введен в практику расчетов в 1944 г. в США. Широкое распространение этот метод получил только после появления быстродействующих ЭВМ.

В методе Монте-Карло особую роль играет моделирование случайных величин с заданными распределениями (время обслуживания, время ожидания и другие). Такое моделирование осуществляют путем преобразования одного или нескольких независимых значений случайного числа t, распределенного равномерно в интервале 0…1. Последовательности «выборочных» значений t получают на ЭВМ с помощью специальных алгоритмов. Такие числа называются псевдослучайными.

Для моделирования отдельно взятого случайного события с вероятностью Р достаточно одного равномерно распределенного на интервале 0…1 числа r. При попадании r в интервал О…Р считают, что событие (например, прибытие автомобиля) наступило, в противном случае – не наступило.

Вопросы для самоконтроля

1. Опишите общую модель системы массового обслуживания.

2. Сформулируйте понятия обслуживающей и обслуживаемой систем, приведите примеры систем.

3. Согласно каким вероятностным законам подчиняются процессы в транспортных системах при автомобильных перевозках.

4. Перечислите этапы работы по оптимизации процессов в обслуживаемой системе.

5. Перечислите этапы работы по оптимизации процессов в обслуживающей системе.