Транспортных процессов

9.1. Общая характеристика автотранспортных задач массового обслуживания

Теория массового обслуживания является одним из разделов теории вероятностей. В последние годы она получила развитие и выделилась в самостоятельный раздел математики. Основоположником теории массового обслуживания является датский ученый А.К. Эрланг. Его первая работа по этому вопросу была опубликована в 1909 году.

Идеи и методы теории массового обслуживания в настоящее время получают широкое распространение на автомобильном транспорте. Используя теорию массового обслуживания, можно находить оптимальные и близкие к оптимальным решения таких практических задач, как определение числа постов погрузки, выгрузки и технического обслуживания, оптимизация процесса заправки автомобилей топливом, определение величины резерва подвижного состава, выбор количества подвижного состава, обслуживание населения автомобилями-такси и другие.

Термин массовое обслуживание означает, что речь идет не о конкретном объекте, а о совокупности объектов, потребности которых требуется удовлетворить.

Особенностью теории массового обслуживания является то, что она рассматривает любой процесс массового обслуживания как вероятностный. Теория массового обслуживания занимается изучением таких транспортных процессов, в которых возникают очереди на обслуживание. Причинами возникновения очередей являются случайно изменяющиеся потребности в обслуживании, вызываемые, например, неравномерным прибытием автомобилей на погрузку–выгрузку; ограниченностью мощности погрузо-разгрузочных постов; неравномерным прибытием автомобилей на заправку топливом, на станцию технического обслуживания и ограниченностью мощности постов обслуживания; прибытие такси по вызову; подход пассажиров к остановкам городского транспорта; прибытие транспортных средств к пассажирским остановкам и так далее.

С помощью теории массового обслуживания решаются задачи оптимизации вышеуказанных процессов.

Общая модель системы массового обслуживания состоит из обслуживаемой и обслуживающей систем. Обслуживаемая система включает совокупность источников требований и входящего потока требований.

Требование – это запрос на выполнение работы (погрузки-выгрузки, заправки топливом, ремонта, посадки в транспорт для поездки и другие).

Источник требований – это объект (диспетчер, водитель, пассажир, механизм и так далее), который может послать в обслуживающую систему только одно требование.

Носитель требований, например водитель, автомобиль или агрегат, которому могут понадобиться услуги, запасные части, житель города, которому понадобилось свободное такси. Требования и его носитель часто отождествляются. Требования от всех источников в обслуживающую систему образуют входящий поток требований.

Обслуживающая система состоит из накопителя и механизма обслуживания. Требования поступают в накопитель, где ожидают начала обслуживания, если есть очередь, или обслуживаются сразу.

Обслуживанием считается удовлетворение поступившего запроса на выполнение услуги. Механизм обслуживания состоит из нескольких обслуживающих аппаратов.

Обслуживающий аппарат – это часть механизма обслуживания, способная удовлетворить только одно требование. После окончания обслуживания требования покидают систему, образуя выходящий поток требований.

Для применения теории массового обслуживания нужно изучать и анализировать фактические данные. Практическая цель применения теории – это предсказание поведения системы при ее будущей работе еще до того, как система создана, то есть на стадии проектирования системы.

Основной базовой величиной в теории обслуживания является поток требований на обслуживание. Для рассматриваемых автотранспортных процессов потоки в большинстве случаев принимаются стационарными (не зависящими от начала отсчета времени, а зависящими только от его продолжительности), ординарными (когда в любой момент времени поступает только одно требование) и потоками без последствий (не зависящими от количества ранее поступивших требований). Такие потоки называются простейшими.

Работа погрузочно-разгрузочных постов, постов на станциях технического обслуживания, на топливо - заправочных пунктах, обслуживающих подвижной состав, относится к разомкнутым системам. В таких системах отсутствует связь между обслуженным требованием и требованиями, поступившими на обслуживание.

При этом выбор наиболее эффективного варианта загрузки системы является проблематичным. Исходить из средней загруженности системы нельзя, поскольку одним из условий нормальной работы системы является выполнение на каждой фазе работы неравенства

< 1,

где λ – средняя интенсивность входящего потока требований; ν – интенсивность обслуживания одним аппаратом в единицу времени; s –число обслуживающих аппаратов; p – коэффициент использования обслуживающей системы.

Если коэффициент использования p будет больше единицы, то обслуживающая система не справится с обслуживанием и очередь будет неограниченно расти.

В соответствии с поведением требований системы подразделяются на три группы:

1. Система с отказами, в которых требование, заставшее обслуживающие аппараты занятыми, получает отказ и теряется. Например, автомобиль уезжает со станции технического обслуживания, если посты заняты;

2. Система с ожиданиями, например, автомобиль ожидает погрузки;

3. Смешанные системы, например, часть автомобилей уезжает с автозапра- вочной станции, если очередь на заправку велика.

Теория массового обслуживания позволяет определить оптимальный характер функционирования системы массового обслуживания по характеристикам ее частей.

9.2. Аналитические модели оптимальных решений задач

Процессы в обслуживаемой системе (поступление автомобилей на погрузку-выгрузку, на заправку топливом, на станцию технического обслуживания; заявки на такси; подход пассажиров на остановки транспорта и другие) в подавляющем большинстве случаев распределяются согласно вероятностным законам Пуассона и Эрланга. Такие системы принято называть пуассоновскими. Аналитические зависимости, описывающие указанные вероятностные законы, в общем случае являются аналитическими моделями этих процессов.

Вероятность событий, распределенных по закону Пуассона, имеет вид рис. 9.1,а и описывается зависимостью

(9.1)

где Р(m,a) – вероятность появления события при заданном значении параметра а, равна m раз; а = λt – математическое ожидание (среднее число событий за данный отрезок времени); m – случайная величина, число событий за данный отрезок времени; t – отрезок времени, за который рассматривается поведение случайной величины; е = 2,71… - основание натурального логарифма.

Плотность вероятности закона Эрланга имеет вид рис. 9.1,б и описывается следующей зависимостью:

, (9.2)

где z – сумма случайных величин.

На рис. 9.2 приведены данные распределения числа посадок пассажиров в автомобили такси (обслуживаемая система) во второй половине дня и ночью (с 15.00 до 5.00 ч). Можно видеть, что распределение по форме напоминает закон Пуассона.

В практической работе задача оптимизации процессов в обслуживаемой системе включает следующие этапы:

1. Наблюдение за данными в эксплуатации автомобилей и их группировка;

2. Выбор закона распределения для аппроксимации данных (закон Пуассона, Эрланга и другие);

3. Оценка конкретных параметров закона и построение аналитической модели рассматриваемого процесса;

4. Получение оптимального решения по аналитической модели процесса.

При выборе закона распределения принадлежность опытных данных закону Пуассона или Эрланга проверяется с помощью критериев. При этом используются в основном два критерия – критерий согласия х² (xи - квадрат) Пирсона и критерий Романовского.

При оценке параметров распределений и получении оптимальных решений используется целый ряд данных, приведенных в справочниках по теории вероятности и математической статистике.

В обслуживающей системе процессы (погрузка и разгрузка автомобилей, заправка их топливом, ремонт автомобиля на станции технического обслуживания, процесс принятия заявки на обслуживание такси и другие) распределяются в подавляющем большинстве случаев согласно показательному закону. Аналитическая зависимость, описывающая вероятностный показательный закон, является в общем случае аналитической моделью этих процессов. Плотность вероятности показательного закона имеет вид рис. 9.3 и описывается зависимостью

f (t) = λ·e^{-λ t}, (9.3)

где t – случайная величина, например время погрузки автомобиля, заправки топливом; ремонта на станции технического обслуживания и другие; λ – интенсивность (среднее число событий в единицу времени).

На рис. 9.4 приведено распределение затрат времени на ремонт автомобилей (замену двигателя) для автомобилей одного типа (обслуживающая система). Всего было зафиксировано время по 400 случаям ремонтов. Время ремонтов разбито на 7 разрядов по одному часу в каждом разряде. Можно видеть, что распределение затрат времени составляет: 128 случаев – 1,5-2,5 ч; 70 случаев - 2,5-3,5 ч … 23 случая – 6,5-7,5 ч, ….и так далее (см. рис. 9.4). Распределение времени, очевидно, соответствует показательному закону.

Решения транспортных задач методами теории массового обслуживания рассмотрим на конкретных примерах.

9.3. Примеры решений задач

Рассмотрим примеры решений задач на оптимизацию процесса перевозки и разгрузки скоропортящихся грузов. Поток автомобилей в рассматриваемом случае является обслуживаемой системой. Обслуживающей системой является комплекс разгрузки автомобилей.

Пример 9.1. На базу для разгрузки прибывают автомобили со скоропортящимися грузами. Прием и разгрузка грузов осуществляются в рабочие дни недели с 8.00 до 9.00 ч.

Требуется:

1. Установить вероятностный закон распределения числа автомобилей, прибывающих на базу для последующей разгрузки.

2. Определить оптимальное количество разгрузочных постов и вероятность простоев прибывающих автомобилей в ожидании разгрузки.