Четвертое. Алгоритм хорошо формализован и, как следствие, эффективен не только для ручных преобразований, так и для реализации на ЭВМ и МПТ

Метод “ цифра за цифрой для правильной дроби (”последовательное умножение “)

Перевод правильных дробей из системы счисления с основанием q _исх в систему с основанием q _тр осуществляется так.

Как и при конвертировании целого числа, исходное число − правильная дробь, заданная в СС с основанием q _исх. Необходимо представить ее в СС с основанием h. В требуемой системе счисления (основание – h) правильная дробь X q является полиномом вида

X q = a _{-1 *} h ^-1 +a _{-2 *} h ^-2 +… a _{-M+1 *} h ^{− M+1} + a _{-M *} h ^{− M} (2.2)

Очевидно, что при конвертировании число разрядов для представления исходного числа в новой системе счисления может измениться. Поэтому целесообразно вместо обозначения m, применявшегося ранее в (2.2) обозначать новую разрядность как М (. M ≠ m).

Как и ранее, задача конвертирования заключается в определении неизвестных пока полиномиальных коэффициентов a _-1, a _{-2, …,} a _-M.

Умножение полинома (1.4) на h позволяет получить произведение вида

X q* h = a _-1 +a _{-2 *} h ^-1 +… a _{-M+1 *} h ^{− M+2} + a _{-M *} h ^{− M+1} = a _-1+ z₁

В полученном произведении содержится в виде целой части старшая цифра числа X q и дробная часть z₁. Если опять умножить правильную дробь z₁ на основание h, то целая часть произведения дает следующую цифру числа в новой системе счисления и т.д. Правило перевода правильных дробей в новую систему счисления методом “цифра за цифрой” (“последовательное умножение”) формулируется следующим образом.

Дробь, соответствующая числу Xq, умножается на q тр по правилам умножения в системе с основанием q исх.

В полученном произведении отделяется целая часть, которая может быть равной нулю, а дробная часть снова умножается на q тр с последующим отделением целой части.

Эти операции повторяют

1. либо до получения нулевой дробной части произведения,
2. либо до получения необходимого количества разрядов числа Xq в новой системе счисления
3. либо до достижения заданной точности преобразования.

. Старшая цифра результата перевода (то есть первая после запятой) совпадает с первой отделенной целой частью, вторая цифра результата — со второй отделенной целой частью и т. д.

Нулевая дробная часть произведения формируется лишь для небольшого числа преобразуемых чисел. Для таких чисел должен существовать конечный полином вида 1.2 в требуемой системе счисления. Преобразование такого типа иллюстрируется Примерами 10, 11.

Пример 10.. Преобразовать десятичное число 0,185D в двоичную систему счисления. Формализованная запись задания 0,185D → XB.

Результат преобразования конечен и имеет вид 0,185D = 0,0011B

Пример 11. П реобразовать двоичную правильную дробь XB =0, 01011В в восьмеричную систему счисления. Формализованная запись задания 0,01011В → XQ.

Применяется последовательное умножение дробной части двоичного числа на основание восьмеричной системы, представленное в виде двоичного целого. Преобразования выполняются по правилам двоичной системы счисления.

Таким образом, 0,01011В = 0,26Q,

Наиболее вероятны случаи либо ограничения количества разрядов числа Xq в новой системе счисления, либо достижения заданной точности преобразования.

Для вычислительных систем как правила имеет место ограничение разрядной сетки для представления числа в новой системе счисления. Эти случаи иллюстрируются примерами 12,13.

Пример 12. Преобразовать дробное двоичное число X₂=0,01011В в десятичную систему счислении. Дополнительные требования: полученное десятичное число должно содержать не более трех разрядов для представления мантиссы. Формализованная запись задания 0,01011В → XD.

Применяется последовательное умножение дробной части двоичного числа на основание десятичной системы, представленное в виде двоичного целого. Преобразования выполняются по правилам двоичной системы счисления.

Таким образом, заданное двоичное число 0,01011B в десятичной системе счисления представляется приближенно, и равно 0,343D.

Следующий пример иллюстрирует то, что даже при бесконечной разрядной сетке преобразования могут не привести к конечному числу в новой системе счисления.

Пример 13. Преобразовать дробное десятичное число X₂=0,1D в двоичную систему счисления. Формализованная запись задания 0,1D → XB..

Как и при анализе методов конвертирования целых чисел необходимо выделить несколько основных свойств алгоритма “последовательное умножение”.

Первое. Алгоритм теоретически обеспечивает преобразование системы с любым основанием в заданную систему с любым основанием.

Второе. Преобразования необходимо выполнять по правилам исходной системы счисления, что не всегда удобно и привычно.

Третье. Область преимущественного использования метода для “ручных “ преобразований – преобразование из десятичного представления числа в двоичное.

Четвертое. Алгоритм хорошо формализован и эффективен для реализации на ЭВМ и МПТ.

Пятое. Конечных преобразований следует ожидать не всегда. Точность преобразований может быть ограничена длиной разрядной сетки для представления дробной части. Обычно перевод дробей из системы в систему производят приближенно.

Метод “ цифра за цифрой“ для смешанного числа

При преобразовании смешанного числа его целая и дробная часть преобразуются соответственно методами “деления лесенкой“ и “последовательного умножения“. Далее из полученных целого и дробного чисел в новой системе счисления составляется (конкетенация) преобразованное смешанное число. Целая и дробная часть числа разделяются запятой.

2.4 Специфические преобразования в классе систем с основанием “ целая степень двойки“

Такие преобразования на практике выполняются для систем, основания которых связаны соотношением

где R – целое число

Очевидно, что практический интерес представляют взаимные преобразования в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счислениях. Эти задачи рассматриваются в следующих разделах