Свойство 9

Пусть q-значное n-разрядное целое число X_q содержит последовательность из b максимальных в этой системе счисления цифр(b£ n).

Младшая цифра последовательности занимает k-ую (n-1 ³k³ 0) позицию в числе, т.е.

Тогда количественный эквивалент числа определяется как

а количественный эквивалент последовательности как

Пример3. Определить количественный эквивалент последовательности из 6-ти максимальных цифр в 9-ти разрядном десятичном числе

X₁₀ =9369999954D.

Согласно заданное число можно представить как 9360000000+(10⁷–10²)+0000000054.

При этом разность (10⁷–10²⁾ оценивает количественный эквивалент последовательности из 6-ти девяток, младшая цифра которой занимает вторую позицию в числе

Разность “в столбик” определяется как

Тогда X¹⁰ =9360000000+0009999900+0000000054=9369999954, что подтверждает справедливость Свойства 8.

Пример 4. Определить количественный эквивалент последовательности из 7-ми максимальных цифр в 12-ти разрядном двоичном числе

X₂ =100111111101b.

Согласно заданное число можно представить как 10000000000+(2⁹-2²)+000000000001.

Количественный эквивалент последовательности в десятичной системе счисления определяется путем вычисления разности (2⁹-2²). Степени равны 2⁹=512 и 2²=4, а их разность (2⁹-2²)=512 - 4=508.

Использование вычислений в “столбик” приводит к результату

В результате последующего суммирования 100000000000+000111111100+00000000001=100111111101b получается исходное число, что подтверждает справедливость Свойства 9.

Свойство 10. Пусть дробная часть q-значного n-разрядного числа Xq состоит из b максимальных в этой системе счисления цифр. При этом b£m.

Начальные условия поясняются рисунком.

Очевидно, что

Тогда при введенных условиях Свойство 9 состоит в следующем

или

Пример5. Определить количественный эквивалент 16-ти разрядного дробного двоичного числа 0,111111100000000b, дробная часть которого состоит из 7-ми максимальных цифр.

Решение. Согласно () заданное число X2 =0,111111100000000b, представляется как X₂= 1– 2^–7=(128-1)/128=0,9921875.

Пример 6. Подтвердить, что разность 1– 2^–9 задает двоичное дробное число 0,11111111100.

Решение. 2^–9=0,000000001. Вычитание в “столбик” приводит к результату

Таким образом, разность 1– 2^–9 = 0,11111111100. Это подтверждает условие примера.