Классическая теория теплоЁмкости

идеального газа

Средняя энергия одной молекулы равна: ,

где i – число степеней свободы молекулы.

Внутренняя энергия 1 моля идеального газа, содержащего число Авогадро молекул, равна .

Для nмолей газа внутренняя энергия равна .

Теплоёмкостью тела называется количество теплоты, которое нужно подвести к телу, чтобы повысить его температуру на 1 градус (например, теплоёмкость калориметра):

С _ТЕЛА [Дж/К]. (44)

Теплоёмкость 1 моля называют молярной теплоёмкостью С (или С _m) [Дж/(моль×К)]. Тогда

Q = C _m n (T ₂ – T ₁). (45)

Теплоёмкость единицы массы вещества называют удельной теплоёмкостью с [Дж/(кг×К)]. Тогда

Q = c m (T ₂ – T ₁). (46)

Молярная и удельная теплоёмкости связаны через молярную массу:

(47)

(или C _{m v} = M c_v, C _{m p} = M c_p, где c_V и c_P см. далее).

Пусть нагревание 1 моля газа происходит при V = const. Тогда из первого начала термодинамики следует d А = 0 и dQ = dU, и молярная теплоёмкость при постоянном объёме равна

. (48)

Из уравнения (48) можно получить важное соотношение:

dU = C_V dT, а внутренняя энергия n молей равна U = n C_V T.

Пусть нагревание 1 моля газа происходит при p = const. Тогда молярная теплоёмкость при постоянном давлении равна

.

Разделим уравнение первого начала термодинамики на dT:

, , .

Для нахождения производной dV / dT выразим объём из уравнения Менделеева-Клапейрона для 1 моля: V = RT / p. Итак:

.

Мы получили уравнение Майера:

. (49)

Кроме того, выражение d A / dT = R определяет физический смысл газовой постоянной R: газовая постоянная численно равна работе, которая совершается при расширении 1 моля идеального газа, нагретого на 1 градус при постоянном давлении.

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении может быть выражена из уравнения Майера (49):

. (50)

Отношение теплоёмкостей

(51)

представляет собой характеристическую для каждого газа величину (это показатель адиабаты).

Для одноатомного газа (i = 3) g = 1,67.

Для двухатомного газа (i = 5) g = 1,4.

Для трехатомного газа (i = 6) g = 1,33.

Полученные формулы для теплоёмкости дают хорошее совпадение с экспериментом для одноатомных и многих двухатомных газов (H ₂, O ₂, N ₂) при комнатной температуре. Однако существуют и различия эксперимента и теории, которые объясняются квантовой теорией теплоёмкости.