Метод подвижного (скользящего) среднего

Метод простого скользящего среднего (simple moving average) состо­ит в том, что расчет показателя на прогнозируемый момент времени строится путем усреднения значений этого показателя за несколько предшествующих моментов времени. В приводимых примерах мы будем использовать для усреднения данные трёх предшествующих моментов.

Для вычисления прогнозируемого объема продаж на четверг по­ступим следующим образом. Возьмем фактические данные за три предыдущих дня — понедельник, вторник и среду — и найдем их среднее арифметическое:

f₄ = (12+8+6) / 3 = 26 / 3 8,7.

Прогнозируемый объем продаж на пятницу вычисляется анало­гичным образом по реальным показателям за три предшествующих дня — вторник, среду и четверг:

f₅ = (8+6+10) / 3 = 24 / 3 = 8,0.

Подобным же способом рассчитываются прогнозы на субботу, воскресенье и очередной понедельник:

f₆ = (6+10+11) / 3 = 27 / 3 = 9,0;

f₇ = (10+11+9) / 3 = 30 / 3 = 10,0;

f₈ = (11+9+5) / 3 = 25 / 3 8,3.

Сравнительные результаты приведены на рис. 7.7: кружками отмечены реальные значения, а ромбиками — прогнозируемые.

Рис. 7.6

Для общего случая расчетная формула выглядит так:

f_k = (x_k-N+ x_k-N+1 +…+ x_k-1) / N,

или

f_k = , (7.1)

где: x_k-i — реальное значение показателя в момент времени t_k-i,

N — число предшествующих моментов времени, используемых при расчете:

f_k— прогноз на момент времени t _k.

Замечание. В рассматриваемом примере N = 3.

Метод взвешенного подвижного (скользящего) среднего (weights moving average). При составлении прогноза методом усреднения часто приходится наблюдать, что влияние используемых при расчете реальных показателей оказывается неодинаковым, при этом обычно более свежие данные имеют больший вес.

Математически метод взвешенного подвижного среднего можно записать так:

f_k = / , (7.2)

где: x _k-i — реальное значение показателя в момент времени t_k-i;

N — число предшествующих моментов времени, используемых при расчете;

f_k — прогноз на момент времени t_k;

w_k-i— вес, с которым используется показатель x _k-i при расчете.

Замечание. Вес — это всегда положительное число. В случае, когда все веса одинаковы, мы получаем формулу (7.1).

Для расчетов обратимся к исходному временному ряду, считая, что при составлении прогноза на завтрашний день объем сегодняшних продаж мы возьмем с весом 60, вчерашних — с весом 30, а позавчерашних — с весом 10.

Имеем:

f₄ = (10 · 12+30 · 8+60 · 6) / (10+30+60) = 720 /100 = 7,2;

f₅ = (10 · 8+30 · 6+60 · 10) / 100 = 860 /100 = 8,6;

f₆ = (10 · 6+30 · 10+60 · 11) / 100 = 1020 /100 = 10,2;

f₇ = (10 · 10+30 · 11+60 · 9) / 100 = 970 /100 = 9,7;

f₈ = (10 · 11+30 · 9+60 · 5) / 100 = 6800 /100 = 6,8.

Результаты расчетов приведены в таблице:

Таблица 7.3
t
xX								—
f	—	—	—	7,2	8,6	10,2	9,7	6,8

и на рис. 7.8: кружками отмечены реальные значения, а ромбиками — прогнозируемые.

Рис. 7.7

Метод экспоненциального сглаживания

При расчете прогноза методом экспоненциального сглаживания

(exponential smoothing) учитывается отклонение предыдущего про­гноза от реального показателя, а сам расчет проводится по следую­щей формуле:

f_k = f_k-1 + α (x_k-1 –f_k-1), (7.3)

где

x_k-1 - реальное значение показателя в момент времени t_k-1;

f_k – прогноз на момент времени t_k;

α – постоянная сглаживания.

Замечание. Значение постоянной α, подчиненной условию 0< α <1 определяет степень сглаживания и обычно выбирается универсаль­ным методом проб и ошибок.

Для расчетов вновь обратимся к исходному временному ряду, положив α = 0,2 и считая, что прогноз на понедельник равен 8.

Тогда

f₂ = 8,0+0,2 (12 – 8,0) 8,8;

f₃ = 8,8+0,2 (8 – 8,8) 8,6;

f₄ = 8,6+0,2 (6 – 8,6) 8,1;

f₅ = 8,1+0,2(10 – 8,1) 8,5;

f₆ = 8,5+0,2(11– 8,5) 9,0;

f₇ = 9,0+0,2(9 – 9) 9,0;

f₈ = 9,0+0,2(5 – 9,0) 8,2.

Результаты расчетов приведены в таблице:

Таблица 7.4
t
X								—
f	—	8,8	8,6	8,1	8,5	9,0	9,0	8,2

и на рис. 7.9: кружками отмечены реальные значения, a ромбиками — прогнозируемые.

Рис.7.8

Замечание. Следует иметь в виду, что при решении реальной задачи прогнозирования временной ряд складывается постепенно и реальное значение прогнозируемого показателя на рассчитываемый момент времени заранее неизвестно. Однако прежде чем заглянуть в будущее посредством одного из указанных выше методов, обычно проводят­ся расчеты с полным временным рядом, описывающим некоторый промежуток времени в прошлом. Это делается для того, чтобы подобрать подходящее значение N и сравнить результаты прогно­за с реальными данными (метод простого скользящего среднего), подобрать подходящие значения N и весов и сравнить результа­ты прогноза с реальными данными (метод взвешенного скользящего среднего), подобрать подходящие значения постоянной сглаживания αи сравнить результаты прогноза с реальными данными (метод экспо­ненциального сглаживания). Кроме того, имея возможность сравнивать прогнозируемые тем или иным методом величины с реальностью, можно оценить погрешность прогноза на будущий, еще не наступивший момент времени. Оценка погрешности прогноза является неотъемлемой частью самого прогноза. Получатель прогноза, вполне возможно, будет использовать его для своих дальнейших расчетов, а для этого он должен иметь отчетливое представление о границах, в которых можно доверять полученным цифрам. Об оценке погрешностей при построении прогноза речь будет в следующей главе.