Определение пределов устойчивости двойственных оценок

Необходимые данные для анализа берутся из последней симплекс-таблицы. Найдем компоненты вектора:

где В ^-1 – матрица, элементы которой берутся из последней симплекс-таблицы, из столбцов х ₃, х ₄, х ₅, образующих первоначальный единичный базис;

b_i – первоначальное количество i -го ресурса (фонд), берется из правой части условия;

Δ b_i – изменение ресурса i -го вида.

Компоненты полученного вектора должны быть неотрицательны, следовательно:

(4.1)

Определим пределы изменения каждого ресурса в случае неизменности остальных ресурсов, при которых значения двойственных оценок не изменяется.

Пусть количество фар и глушителей остается неизменным, то есть Δ b ₂=0 и Δb₃=0. Определим, в каких пределах может изменяться количество двигателей:

2 + 2Δ b ₁ > 0 Δ b ₁ > -1

2 - 3Δ b ₁ > 0 Δ b ₁ < 2/3

4 - Δ b ₁ > 0 Δ b ₁ < 4

В результате получили пределы: -1 < Δ b ₁ <

5 < b ₁ <

Это значит, что при неизменном количестве фар и глушителей количество двигателей можно уменьшить на единицу или увеличить на ; при этом значения двойственных оценок не изменятся. А само количество двигателей может меняться от 5 до единиц.

Определим теперь, в каких пределах может изменяться количество фар, если количество двигателей и глушителей останется неизменным, то есть Δ b ₁=0 и Δ b ₃=0:

2 + Δ b ₂ > 0 Δ b ₂ > -2 b ₂ > 8

Это значит, что при неизменном количестве двигателей и глушителей количество фар можно уменьшить на 2 единицы; при этом значения двойственных оценок не изменятся. А само количество фар может меняться от 8 единиц до бесконечности.

Определим, в каких пределах может изменяться количество глушителей, если количество двигателей и фар остается прежним, то есть Δb₁=0 и Δb₂=0:

2 – Δ b ₃ > 0 Δ b ₃ < 2

2 + Δ b ₃ > 0 Δb₃ > -2

4 + Δ b ₃ > 0 Δ b ₃ > -4

В результате получили пределы: -2 < Δ b ₃ < 2

8 < b ₃ < 12

Это значит, что при неизменном количестве двигателей и фар количество глушителей можно уменьшить на 2 единицы или увеличить на 2 единицы; при этом значения двойственных оценок не изменятся. А само количество глушителей может меняться от 8 до 12 единиц.

Влияние изменения запасов ресурсов на максимальное значение стоимости и план выпуска продукции

Количество двигателей и глушителей увеличивается соответственно на ½ и 1 единицы, а количество фар уменьшается на 1 единицу, то есть:

Δ b ₁ = ½

Δ b ₂ = -1

Δ b ₃ = 1

Раздельное влияние

1. Количество двигателей увеличивается на ½, а количество фар и глушителей остается неизменным.

Значение Δb₁=½ входит в предел -1<Δ b ₁< . Следовательно, для определения приращения максимального значения критерия можно воспользоваться формулой:

Δ L ^* = y ₁^* · Δ b ₁ = 9 · 0,5 = 4,5

Чтобы определить план выпуска продукции при данном изменении ресурса, воспользуемся данными последней симплекс-таблицы, в которой столбец х ₃ соответствует первому ресурсу (двигателям), столбец х ₄ – второму (фарам), а столбец х ₅ – третьему (глушителям).

x ₁^* = 2 + 2 · ½ = 3

х ₂^* = 4 + (-1) · ½ = 3,5

Значение критерия вычисляется двумя способами: используя двойственную оценку и по формуле критерия:

L ^* = 84 + Δ L ^* = 84 + 4,5 = 88,5

L ^* = 12 x ₁^* + 15 x ₂^* = 12 · 3 + 15 · 3,5 = 88,5

То есть, увеличение количества двигателей на ½ при неизменном количестве фар и глушителей позволит увеличить прибыль на 4,5 денежные единицы. При этом план выпуска продукции будет следующим: 3 машины и 3,5 мотоцикла; суммарная стоимость при этом составит 88,5 денежных единиц.

2. Количество фар уменьшится на 1 единицу, а количество двигателей и глушителей остается неизменным.

Значение Δ b ₂=-1 входит в предел Δ b ₂>-2. Следовательно:

Δ L ^* = y ₂^* · Δ b ₂ = 0 · (-1) = 0

Суммарная стоимость остается неизменной, следовательно, можно предположить, что и план выпуска изделий не изменится.

x ₁^* = 2 + 0 · (-1) = 2

х ₂^* = 4 + 0 · (-1) = 4

То есть, уменьшение количества фар на единицу при неизменном количестве двигателей и глушителей никак не повлияет на максимальное значение стоимости продукции и план выпуска продукции.

3. Количество глушителей увеличивается на единицу, а количество двигателей и фар остается неизменным.

Значение Δ b ₃=1 входит в предел -2<Δ b ₃<2. Следовательно:

Δ L ^* = y ₃^* · Δ b ₃ = 3 · 1 = 3

x ₁^* = 2 + (-1) · 1 = 1

х ₂^* = 4 + 1 · 1 = 5

Определим значение критерия двумя способами:

L ^* = 84 + Δ L ^* = 84 + 3 = 87

L^* = 12x₁^* + 15x₂^* = 12 · 1 + 15 · 5 = 87

То есть увеличение количества глушителей на единицу при неизменном количестве двигателей и фар позволит увеличить прибыль на 3 денежные единицы. При этом план выпуска продукции будет следующим: 1 машина и 5 мотоциклов; стоимость продукции при этом составит 87 денежных единиц.

Совместное влияние

Чтобы выяснить, останется ли прежним оптимальный план двойственной задачи при совместном изменении ресурсов, нужно проверить, удовлетворяют ли данные значения Δ b ₁=½, Δ b ₂=-1 и Δ b ₃=1 системе неравенств (4.1). Для этого подставим эти значения в систему:

2 + 2 · ½ - 1 = 2 > 0

2 – 3 · ½ + (-1) + 1 = 0,5 > 0

4 – ½ + 1 = 4,5 > 0

Следовательно, значения двойственных оценок не меняются и могут быть использованы для анализа.

Δ L ^* = y ₁^*·Δ b ₁ + y ₂^*·Δ b ₂ + y ₃^*·Δ b ₃ = 9 · 0,5 + 0 · (-1) + 3 · 1 = 7,5

Для расчета плана выпуска продукции используем данные всех трех столбцов последней симплекс-таблицы: х ₃, х ₄ и х ₅ и соответствующих строк:

x ₁^* = 2 + 2 · ½ + 0 · (-1) + (-1) · 1 = 2

x ₂^* = 4 + (-1) · ½ + 0 · (-1) + 1 · 1 = 4,5

Вычислим значения критерия:

L ^* = 84 + Δ L ^* = 84 + 7,5 = 91,5

L ^* = 12 x ₁^* + 15 x ₂^* = 12 · 2 + 15 · 4,5 = 91,5

Таким образом, при уменьшении количества фар на единицу и увеличении количества двигателей и глушителей на ½ и 1 единицу соответственно, план выпуска продукции будет следующим: 2 машины и 4,5 мотоцикла. Общая стоимость продукции при этом будет составлять 91,5 денежную единицу, что на 7,5 денежных единиц больше, чем при плане выпуска продукции, обусловленном первоначальным количеством ресурсов.