Иррациональные числа

Определение 5. Действительные числа, не являющиеся рациональны­ми, называются иррациональными.Классическим примером иррационального действительного числа является у/2, т. е. число s? R такое, что s > 0 и s² = 2. Иррациональность у/2 в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата.Итак, проверим, во-первых, что существует положительное действи­тельное число s? R, квадрат которого равен двум, и, во-вторых, что s £ Q.Ч Пусть X и Y — множества положительных действительных чисел такие, что /х е X (х² < 2), /у б Y (2 < у²). Поскольку 1бХ,а2бУ, тоХиУ-непустые множества.Далее, поскольку для положительных х и у (х < у) <^ (х² < у²), то любой элемент х? X меньше любого элемента у? Y. По аксиоме полноты сущест­вует число sEl такое, что х ^ s ^. у для Ух 6 X и Vj/? У.

Покажем, что s² = 2.

Если бы было 5 < 2, то, например, квадрат числа s Н —, большего

os

чем 5, был бы меньше 2. Действительно, ведь 1 6 X, поэтому I² ^ s² < 2 и 0<А = 2-5²<1. Значит,Следовательно, (^s + ^ ^» ^что несовместимо с неравенством х ^ s для любого элемента х G X.Если бы было 2 < s², то, например, квадрат числа s ——, меньшего чем s, был бы больше 2. Действительно, ведь 2? У, поэтому 2 < s² ^ 2² или 0<A = s²-2<3 и 0 < ^ < 1. Отсюда

о

² > s² - 3 • f = s² - Д = 2,

и мы вступаем в противоречие с тем, что s ограничивает множество Y снизу.

Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность: s² = 2.Покажем, наконец, что s Ф Q. Предположим, что s? Q, и пусть п несократимое представление 5. Тогда т² = 2-п², следовательно, т², а значит, и m делится на 2. Но если ш = 2/с, то 2&² = п² и по той же причине п должно

делиться на 2, что противоречит несократимости дроби —. ►

пСейчас мы трудились над тем, чтобы доказать существование иррацио­нальных чисел. Вскоре мы увидим, что в некотором смысле почти все дей­ствительные числа иррациональны. Будет показано, что мощность множества иррациональных чисел больше мощности множества всех рациональных чисел и совпадает с мощностью множества всех действительных чисел.Среди иррациональных чисел выделяют еще так называемые алгебраиче­ские иррациональности и трансцендентные числа.Вещественное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения

аох^п •+... + а_п-х + а„ = О

с рациональными (или, что эквивалентно, с целыми) коэффициентами.

В противном случае число называется трансцендентным.Мы увидим, что мощность множества алгебраических чисел такая же, как мощность множества рациональных чисел, а мощность множества трансцен­дентных чисел такая же, как мощность всех действительных чисел; поэтому на первый взгляд кажутся парадоксальными и неестественными трудности в предъявлении конкретного трансцендентного числа, точнее, в доказательстве его трансцендентности.Так, например, только в 1882 г. было доказано, что классическое геометри­ческое число 7г является трансцендентным¹), а одна из знаменитых проблем Гильберта¹) состояла в том, чтобы доказать трансцендентность числа or, где а — алгебраическое, (а > 0) Л (а ф 1), a /3 — алгебраическое иррациональное число (например, а — 2, /3 = л/2).1) _п _ число, равное в евклидовой геометрии отношению длины окружности к ее диаме­тру. Отсюда общепринятое с XIII века обозначение этого числа начальной буквой греческо­го слова пернрерю. — периферия (окружность). Трансцендентность п доказана немецким математиком Ф. Линдеманом (1852 — 1939). Из трансцендентности 7г, в частности, вытека­ет невозможность построения циркулем и линейкой отрезка длины тг (задача о спрямлении окружности), как и неразрешимость этими средствами древней задачи о квадратуре круга.

Определение действий над иррациональными числами. Пусть α и β будут какие-нибудь данные положительные иррациональные числа. Если эти числа даны, то это значит, что мы можем найти их приближенные значения с любою точностью. Пусть, напр., приближенные значения чисел α и β, взятые с недостатком, будут такие (мы берем приближенные значения √3 и √2):

	до 0,1	до 0,01	до 0,001	до 0,0001
для числа α.....	1,7	1,73	1,732	1,7320
для числа β.....	1,4	1,41	1,414	1,4142

(Соответствующие приближенные значения с избытком получаются из этих чисел посредством усиления последнего десятичного знака на 1.)

Тогда: а) сложить α и β значит найти число, которое было бы

больше каждой из сумм: 1,7 + 1,1.... =3,1 1,73 + 1,41... =3,14 1,732+1,414...=3,146 1,7320+1,4142.. =3,1462

и меньше каждой из сумм: 1,8+1,6.... =3,3 1,74+1,42... =3,16 1,733 + 1,415.. =3,146 1,7321 + 1,4143..=3,1464

т. е. сложить числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше суммы любых приближенных их значении, взятых с недостатком, но меньше суммы любых приближенных значении, взятых с избытком.

б) Беря приближенные значения чисел α и β, указанные сейчас, мы можем сказать, что произведение αβ есть число, которое

больше каждого из произв.: 1,7•1,4......... =2,38 1,73 • 1,41.......=2,4393 1,732•1,114......=2,449048 1,7320 • 1,1142...=2,44939440

и меньше каждого из произв.: 1,8•1,5..........=2,70 1,74 • 1,42.......=2,4708 1,733•1,415......=2,452195 1,7321 •.1,4143...=2,44970903

т. е. перемножить числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше произведения их любых приближенных значений, взятых с недостатком, но меньше произведения их любых приближенных значений, взятых с избытком.

в) Возвысить иррациональное число α во вторую, третью, четвертую и т. д. степени — значит найти произведение, составленное из двух, трех, четырех и т. д. сомножителей, равных α.

г) Обратные действия определяются для иррациональных чисел так же, как и для рациональных; так, вычесть из числа α число β значит найти такое число х, чтобы сумма β + х равнялась α, и т. п.

Если одно из чисел α или β будет рациональное, то в указанных определениях прямых действий вместо приближенных значений такого числа можно брать точное число.

Произведение иррационального числа на нуль принимается, как и для чисел рациональных, равным нулю.

Действия над отрицательными иррациональными числам и производятся согласно правилам, данным для рациональных отрицательных чисел.

При более обстоятельном рассмотрении можно установить, что действия над иррациональными числами обладают теми же свойствами, какие принадлежат действиям над числами рациональными; напр., сумма и произведение обладают свойствами переместительным и сочетательным; произведение и деление, кроме того, обладают еще распределительным свойством. Свойства, выражаемые неравенствами, также сохраняются у чисел иррациональных; так, если α > β, то α + γ > β, αγ > βγ (если γ > 0) и αγ < βγ (если γ < 0) и т. п.