Рациональные числа

В 1710 году Х. Вольф высказал требование, что уже известные законы для выполнения арифметических действий с целыми числами не могут напрямую применяться для дробей и должны получить своё обоснование. Само обоснование было разработано только в XIX веке с использованием Принципа постоянства формальных законов^[10].

Определение. Полем рациональных чисел называется минимальное поле , содержащее кольцо целых чисел и обладающее следующими свойствами[9]: содержит ; является полем; сложение и умножение целых чисел совпадают с одноимёнными операциями над числами в поле ; поле не содержит отличного от него самого подполя, содержащего . Элементы поля называются рациональными числами.

Поле существует и является единственным с точностью до изоморфизма, а каждый его элемент равен частному целых чисел. Как и для целых чисел, при построении поля рациональных чисел используется пара , но теперь уже целых чисел, при этом . Для пар определяется эквивалентность, сложение и умножение следующим образом^[9]:

• эквивалентно тогда и только тогда, когда ,
• 
•