[ Основные свойства
Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.[1]
- Упорядоченность. Для любых рациональных чисел
и
существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: «
», «
» или «
». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа
и
связаны тем же отношением, что и два целых числа
и
; два неположительных числа
и
связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа
и
; если же вдруг
неотрицательно, а
— отрицательно, то
.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image074.gif)
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image031.gif)
Суммирование дробей
- Операция сложения. Для любых рациональных чисел
и
существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число
. При этом само число
называется суммой чисел
и
и обозначается
, а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид:
.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image078.gif)
- Операция умножения. Для любых рациональных чисел
и
существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число
. При этом само число
называется произведением чисел
и
и обозначается
, а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид:
.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image081.gif)
- Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел
,
и
если
меньше
и
меньше
, то
меньше
, а если
равно
и
равно
, то
равно
.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image082.gif)
- Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image083.gif)
- Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image084.gif)
- Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image085.gif)
- Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image086.gif)
- Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image087.gif)
- Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image088.gif)
- Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image089.gif)
- Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image090.gif)
- Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image091.gif)
- Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image092.gif)
- Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image093.gif)
- Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число
, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт
.
![](https://konspekta.net/studopediaorg/baza10/319185288575.files/image094.gif)