[ Основные свойства
Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.[1]
- Упорядоченность. Для любых рациональных чисел и существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: «», «» или «». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа и связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг неотрицательно, а — отрицательно, то .
Суммирование дробей
- Операция сложения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: .
- Операция умножения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: .
- Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .
- Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
- Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
- Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
- Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
- Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
- Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
- Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
- Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.
- Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
- Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.
- Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
- Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .