Задачи для самостоятельного решения. I. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:

I. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10)

11) ;

12) ;

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

II. Найти площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) (кардиода).

III. Найти площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

ТЕМА 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ КРИВОЙ

Вопросы для повторения:

1. Формула для вычисления длины дуги кривой в прямоугольной системе координат.

2. Вычисление длины дуги кривой в полярных координатах.

3. Вычисление длины дуги кривой, если она задана параметрическими уравнениями.

Пример 1. Найти длины дуг:

1) кривой от х = 0 до .

Применяя формулу: , имеем:

2) кривой между точками пересечения ее с осью оу.

Найдем точками пересечения с осью OY: при х = 0 .

Построим график кривой .

Вследствие симметрии кривой относительно оси OX достаточно найти половину длины заданной кривой.

Отсюда

Или

Пример 2. Найти длину дуги кривой:

1) .

Заданная кривая представляет эвольвенту окружности. Находим производные:

Длина кривой находится по формуле:

. Тогда

2) между точками пересечения с осями координат.

Найдем пределы интегрирования: при х = 0, t = 0; при у = 0, .

Вычислим производные ,

находим:

Пример 3. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах:

1)

Длина дуги определяется по формуле:

. Вычислим .

Находим

.

2) .

Изменяя φ от 0 до 3π, получим кривую:

Вычислим

Отсюда имеем: