Задачи для самостоятельного решения. I. Разложить правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

I. Разложить правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

II. Найти интегралы от простейших дробей:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) .

III. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) .

ТЕМА 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Вопросы для повторения:

1. Основные методы интегрирования иррациональных функций.

Пример 1. Найти интегралы:

1)

Пусть х = t ², dx = 2 t∙dt,тогда

2)

Общий показатель дробных показателей степеней равен 4, поэтому делаем замену х = t ⁴, dx = 4 t ³ ∙dt. Отсюда

3)

Сделаем замену , , , получим

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

;

;

откуда

; ; ; .

Таким образом,

4)

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении

5)

Выделим под корнем полный квадрат:

и сделаем замену х + 1 = t, dx = dt, х = t – 1, тогда получим

6)

Далее делаем замену , , получим