Аналитический способ решения

При расчете миогостержневых конструкций (ферм) необходимо ввести обозначения стержней и узлов. Обычно стержни обозначают цифрами, узлы (места соединения двух или нескольких стержней) - буквами. Так на рис.4 узлы обозначены буквами А, В, С, D, Е; стержни цифрами - 1,2,3,4,5,6,7. Порядок обозначения стержней и узлов может быть произвольным. Определение сил в многостержневых конструкциях производится последовательным вырезанием узлов. Рассматривая узел как систему сходящихся сил, пользуясь уравнениями равновесия этой системы , , необходимо помнить, что, решая эти уравнения, можно определить только две неизвестные силы. Это условие определяет порядок вырезания узлов. Первым рассматривается узел, в котором сходятся два стержня. Таким на рис.4 является узел С. Прежде чем приступить к расчетам, конструкцию необходимо представить в виде расчетной схемы.

Рис.4

Покажем расчетную схему узла С на отдельном рисунке (рис.5). Она должна быть вычерчена аккуратно и четко с нанесёнными на неё силами, с указанием углов. Изображенная на рис.5 расчетная схема узла С получена следующим образом.

Вырезаем узел С, для чего мысленно отбрасываем связи, заменив действие стержней реакциями R₁ и R₂.Реакция стержня направлена по его оси. Приложим к узлу С действующие на него силы F₁, R₁ и R₂. Из них: F₁ - активная сила, внешняя нагрузка, известная по модулю и направлению;

R₁ и R₂- численно неизвестные реакции связей, направленные вдоль стержней, но пока неизвестно в какую сторону.

При расчетах ферм принято предполагать, что стержень растянут, в таком случае реакция направлена от рассматриваемой точки. Если же в результате решения та или иная из них получится отрицательной, то это значит, что предположенное направление данной реакции неправильное и, следовательно, стержень не растянут, а сжат. Для равновесия узла необходимо, чтобы алгебраическая сумма проекций всех приложенных к нему сил на любые две непараллельные оси порознь равнялись нулю.

Напоминаем, что проекция силы на ось равна взятому с соответствующим знаком произведению силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью проекций.

Направим ось X по реакции R₁, а ось Y - перпендикулярно ей. Такое положение осей позволяет получить одно из уравнений равновесия с одним неизвестным, что облегчит решение полученной системы уравнений. Прежде чем составить уравнение равновесия, нужно нанести на расчетную схему все необходимые для проецирования углы.

Угол а между реакциями R₁ и R₂ находим, исходя из геометрических размеров заданной конструкции (рис.4 а).

Рис.5 Рис.6

Из АКС следует: tg =АК/КС =0.5/4 = 0.125 и .

Из ВКС следует: tg = ВК/КС=3/4= 0.75 и .

Таким образом угол .

Угол между F₁ и осью Y равен углу как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Составим уравнения равновесия системы сил, сходящихся в узле С:

- R₁ - R₂cos 30° - F₁cos 83° = 0

- F₁cos 7°- R₂cos 60° =0

Из второго уравнения определяем R₂ = - F₁cos 7⁰/cos 60⁰ = -10 * 0.99/0.5 = -19.8 кН.

Из первого уравнения определяем R₁ = - R₂cos 30° - F₁cos 83° = -(-19.8) * 0.87 – 10 * 0.12 = 16 кН.

Знак минус у значения R₂ показывает, что на самом деле стержень 2 сжат силой 19.8 кН.

Силы в стержнях соответственно равны N₁= R₁=16 кН (растяжение),

N₂=R₂=19.8 кН (сжатие).

Для определения сил в стержнях 3 и 4 вырезаем узел D. Расчетная схема узла D изображена на рис.6. Направление неизвестных реакций R₃ и R₄ принимаем от узла, считаем, что стержни растянуты. Силу R₂ =19.8 кН направляем к узлу, так как из предыдущего расчета известно, что стержень 2 сжат. Направим ось X по реакции R₄, ось Y- перпендикулярно ей.

Угол между горизонтом и направлением силы R₄ равен =37° (см. рис.4 а). Угол, образуемый осью Y и силой R₃, - также 37°. Рассматривая узел в состоянии равновесия, составим уравнение проекций всех действующих сил на оси:

-R₄ - R₂ + R₃cos 53° = 0

R₃cos37°=0

Из второго уравнения R₃ =0, Из первого уравнения R₄ = - R₂ = - 19.8 кН

В результате N₃= R₃=0 (стержень не работает), N₄= R₄=19.8 кН (стержень сжат).