Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки

Случай известного среднего.

Пусть - независимая выборка из нормального распределения, где μ - известное среднее. Определим произвольное и построим α- доверительный интервал для неизвестной дисперсии σ2.

Утверждение. Случайная величина

имеет распределение χ2(n). Пусть - α-процентиль этого распределения. Тогда имеем:

.

После подстановки выражения для H и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

Случай неизвестного среднего.

Пусть - независимая выборка из нормального распределения, где μ,σ2 - неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии σ2.

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

,

где S - несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение χ2(n − 1). Тогда имеем:

.

После подстановки выражения для H и несложных алгебраических преобразований получаем: