Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Случай известной дисперсии.

Пусть - независимая выборка из нормального распределения, где σ2 - известная дисперсия. Определим произвольное и построим доверительный интервал для неизвестного среднего μ.

Утверждение. Случайная величина

имеет стандартное нормальное распределение N(0,1). Пусть z_α - α-процентиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

.

После подстановки выражения для Z и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

Случай неизвестной дисперсии.

Пусть - независимая выборка из нормального распределения, где μ,σ2 - неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего μ.

Утверждение. Случайная величина

,

где S - несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение Стьюдента с n − 1 степенями свободы t(n − 1). Пусть t_α,n − 1 - α-процентиль этого распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

.

После подстановки выражения для T и несложных алгебраических преобразований получаем:

.