ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными можно отнести к самому важному виду уравнений. Оказывается, почти все изучаемые дифференциальные уравнения на заключительном этапе используют приемы разделения переменных.

Рассмотрим принципиально различные виды уравнений с разделяющимися переменными:

А. Форма записи уравнения: y′=f (x) ∙g (y);

В. Форма записи уравнения: f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0;

С. Форма записи уравнения: y′=f (ax+by+c).

Учтем, что выражения А и В в «явном виде» не предлагают. Нужно «заметить», что запись уравнения y′=f (x, y) приводится к форме записи: y′=f (x) ∙g (y), то есть к форме А. Аналогично из записи M (x, y) dx+ N (x, y) dy =0 «попробовать» получить f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0.

Замечание: будем считать также, что уравнения с разделяющимися переменными имеют стандартную форму записи, если она приведена либо к форме y′=f (x) ∙g (y), либо к форме f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0.

☺☺

Пример 1 – 13: Из набора дифференциальных уравнений: а) ( + y²) y′ –(y –2cosπ) x ²=0;

б) (1+3y²) e ^x y′ –( +2) lnx =0;

в) (x –2 x y²) e ^x y′ – =0

выделите уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1). Преобразуем исходные выражения (не обязательно тождественно!):

а). y′= = =f (x) ∙g (y) → переменные разделились.

б). y′= = =f (x) ∙g (y) → переменные разделились.

в). y′= = → переменные не разделяются.

Ответ: из заданных ДУ только а) и б) уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 1 – 14: Из набора дифференциальных уравнений: а) (y –2cosπ) x ² dx – ( + y²) dy =0;

б) ( +2) lnxdx – (1+3y²) e ^x dy =0;

в) dx – (x –2 x y²) e ^x dy =0

выделите уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1). Преобразуем исходные выражения:

а). (y –2cosπ) x ² dx – (1+ y ²) dy=f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0 → переменные разделились.

б). ( +2) lnxdx –(1+3y²) e ^x dy=f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0 → переменные разделились.

в). dx – xe ^x(1–2y²) dy ≠ f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0 → разделить переменные не сможем.

Ответ: из заданных ДУ только а) и б) уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 1 – 15: Из набора дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

а) y ²arcsinx dx – dy =0; б) y ²arcsinx dx – ∙ dy =0;

в) ( +1) y^{– 3} dx + y (1+cos x) dy =0; г) dx +(y + y cos x) dy =0.

выделите уравнения, имеющие стандартную форму записи.

Решение:

1). Учитывая определение «стандартной формы» уравнения с разделяющимися переменными, видим, что в форме f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0 записаны уравнения: б) и в).

2). Записываем ответ.

Ответ: стандартную форму записи имеют только уравнения: б) и в).

☻

Случай-А: при выполнении задания необходимо знать, что уравнение с разделяющимися переменными необходимо привести к виду: f ₁(y) dy = f ₂(x) dx, после чего его можно интегрировать. При переходе от записи y′=f (x) ∙g (y) к записи f ₁(y) dy=f ₂(x) dx могут использоваться нетождественные преобразования (например, деление на алгебраическое выражение). Эти ситуации требуют дополнительных исследований с целью выявления всех возможных решений заданного уравнения.

Общая схема решения уравнения такова:

0). Анализируя исходную запись уравнения, отмечаем, что его форма: y′=f (x) ∙g (y) или очевидно к ней приводится.

1). Для приведения его к форме: f ₁(y) dy=f ₂(x) dx придется выполнить деление на g (y). Если возможно равенство: g (y₀) = 0, то функция y=y₀ (прямая, параллельная оси OX) есть решение уравнения в исходной записи. Это решение необходимо выделить.

2). Теперь принимаем: g (y)≠0) и записываем уравнение в форме: = f (x) ∙dx. (1)

3). Интегрируем уравнение (1): = + C – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F (x, y, C)=0.

4). Оформляем «Ответ»: записываем общий интеграл: F (x, y, C ₁)=0 и добавляем решение: y=y₀ , если имеет место равенство: g (y₀) = 0.

☺☺

Пример 1 – 16: Решить дифференциальное уравнение y′ =– y. (1)

Решение:

1). Видим, заданное уравнение (1) имеет форму записи: y′ = f (x) ∙g (y), то есть переменные разделяются.

2). Для разделения переменных потребуется деление на g (y)= y. Учтем, что y =0 есть решение (ось ОХ).

3). При условии, что y ≠0 совершаем разделение переменных: =– . (2)

4). Интегрируем уравнение (2): ln|Cy|= или y =C – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F (x, y, C)=0..

Ответ: y =C – общее решение; y=0 (отметим, что это решение можно получить при С=0 из общего решения!).

☻

Случай-В: при выполнении задания необходимо знать, что уравнение с разделяющимися переменными необходимо привести к виду: φ ₁(x) dx + φ ₂(y) dy= 0, после чего его можно интегрировать. При переходе от записи f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0 к записи φ ₁(x) dx + φ ₂(y) dy= 0 могут использоваться нетождественные преобразования (например, деление на алгебраическое выражение). Эти ситуации требуют дополнительных исследований с целью выявления всех возможных решений заданного уравнения.

Общая схема решения уравнения такова:

0). Анализируя исходную запись ДУ, отмечаем, что его форма: f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0 или очевидно к ней приводится.

1). Для приведения его к форме: φ ₁(x) dx + φ ₂(y) dy= 0 придется выполнить деление на g ₁(y) и на f ₂(x). Если возможно равенство: g₁ (y₀) = 0, то y=y₀ (прямая, параллельная оси OX) является решением заданного уравнения. Его необходимо учесть при записи ответа. Также, если возможно равенство: f₂(x₀)= 0, то x=x₀ (прямая, параллельная оси OY) является решением заданного уравнения. Его тоже необходимо учесть при записи ответа, т.е. общего решения ДУ.

2). Учитывая, что теперь g₁(y₀) ≠0 и f₂(x₀) ≠0, преобразуем исходное уравнение к виду с разделенными переменными: dx+ dy =0. (1)

3). Интегрируем уравнение (1): + = C ₁ – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F (x, y, C)=0.

4). Оформляем «Ответ»: записываем общий интеграл: F (x, y, C ₁)=0 и добавляем решения: y=y₀ , если имеет место равенство: g₁ (y₀) = 0, и x=x₀ , если имеет место равенство: f₂ (x₀) = 0.

☺☺

Пример 1 – 17: Решить дифференциальное уравнение xydx + dy =0. (1)

Решение:

0). Видим, заданное уравнение (1) имеет форму записи: f ₁(x) ∙g ₁(y) dx+f ₂(x) ∙g ₂(y) dy =0, то есть переменные разделяются.

2). Для разделения переменных потребуется деление на g ₁(y)= y и на f ₂(x)= . Необходимо учесть два решения: y =0 (ось ОХ) и x = ±1 (прямые, параллельные оси OY).

3). При условии, что y ≠ 0 и x ≠ ±1 совершаем разделение переменных. Для окончательной записи решения удобно принять форму: =– . (2)

4). Интегрируем уравнение (2): ln|Cy|= или y =C – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F (x, y, C)=0.

Ответ: y =C – общее решение; y=0 (отметим, что это решение можно получить при С=0 из общего решения!); x = ±1 (из общего не получается ни при каком С).

Замечание: можно сравнить уравнения (2) в примерах 1-15 и 1-16: они одинаковы! Но пришли мы к ним из различных исходных записей, поэтому и записи ответов различаются!

☻

Случай-С: случай интересен тем, что при решении уравнения: y′=f (ax+by+c) используется замена функции y = y (x) функцией u = u (x) и задача сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Общая схема решения уравнения такова:

0). Запишем уравнение в виде: by′=bf (ax+by+c), для удобства!

1). Примем: u = ax+by+c и продифференцируем это равенство по x: u′ = a+by′, или by′ = u′ – a.

2). Так как функция u = u (x) должна быть решением заданного уравнения, то необходимо: u′ – a = bf (u), или u′ = bf (u)+ a = φ (u).

3). Интегрирование уравнения u′ = φ (u) равносильно нахождению первообразной. Если возможно φ (u ₀)=0, то к решениям следует отнести также u = u ₀, то есть линию: bf (u ₀)+ a =0.

4). После получения решения: u = u (x) уравнения u′ = φ (u) остается выразить y = y (x), используя выражение замены: u = ax+by+c.

Замечание: цепочку преобразований перехода от заданного ДУ: u = ax+by+c → u′ = bf (u)+ a → u = u (x) → y = y (x) нужно выполнять как стандартную «технологию»!

☺☺

Пример 1 – 19: Решить дифференциальное уравнение y′ = cos (x+y). (1)

Решение:

0). Видим, заданное уравнение (1) имеет форму записи: y′=f (ax+by+c).

1). Примем: u = x+y и продифференцируем это равенство по x: u′ =1 +y′, или u′ =1 +cos (u). Условие φ (u)=0 дает решение: u =π+2πn, n Z, или x+y = π+2πn – семейство параллельных прямых!

2). При условии, что φ (u) ≠ 0, получим уравнение: = dx. (2)

3). Интегрируем уравнение (2): tg = x +C, или tg = x +C – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F (x, y, C)=0.

Ответ:tg = x +C – общее решение; x+y = π+2πn, n Z (из общего не получается ни при каком С).

☻

Замечание: случаи А,В,С записи уравнений с разделяющимися переменными будем называть стандартными.