Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Особые точки дифференциального уравнения 1-го порядка



К особым точкам дифференциального уравнения F(x,y, y′)=0 относят точки, в которых нарушается либо «существование», либо «единственность» решения.

Заметим также, что условия теоремы 1.1 являются лишь достаточными, но не необходимыми. Поэтому особые точки ДУ следует искать среди точек разрыва функции f (x,y) и точек, где не существует производная , но не все такие точки обязательно особые!

Поведение интегральных кривых в окрестности особой точки бывает различным. Мы рассмотрим уравнение, особая точка которого очевидна (0,0):

y′ = .

☺☺

Пример 106: Для дифференциального уравнения: y′ = установить вид особой точки (0,0).

Решение:

1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются: =2 . (1)

2). Общее решение уравнения (1): y =Сx2.

3). При любом C имеем параболу, содержащую точку (0,0), то есть в этой точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «узлом»

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «узел» (см. рисунок).

Пример 107: Для дифференциального уравнения: y′ = установить вид особой точки (0,0).

Решение:

1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются: = . (1)

2). Общее решение уравнения (1): yx.

3). При любом C имеем прямую, содержащую точку (0,0), то есть в этой точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «дикритическим узлом». Отличается от предыдущего тем, что в особой точке каждая интегральная кривая имеет своё направление.

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «дикритический узел» (см. рисунок).

Пример 108: Для дифференциального уравнения: y′ =– установить вид особой точки (0,0).

Решение:

1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются: =– . (1)

2). Общее решение уравнения (1): xy =С – семейство гипербол.

3). При C=0 имеем оси координат: x =0, y =0. В точке (0,0) точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «седловиной». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «седловина» (см. рисунок).

Пример 109: Для дифференциального уравнения: y′ = установить вид особой точки.

Решение:

1). Легко видеть, что уравнение однородное: xu′ = u, или xu′ = . (1)

2). Общее решение уравнения (1): arctgu ln (1+ u 2)= ln С x, или x earctgu, или = . Перейдем к полярным координатам: ρ=С eφ – семейство логарифмических спиралей, которые образуют вокруг начала координат неограниченное число витков (при φ=–∞).

3). При C=0 имеем точку (0,0). В точке (0,0) нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «фокусом». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «фокус» (см. рисунок).

Пример 110: Для дифференциального уравнения: y′ =– установить вид особой точки (0,0).

Решение:

1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются: xdx+ydy =0. (1)

2). Общее решение уравнения (1): x 2+ y 2=С – семейство концентрических окружностей.

3). При C=0 имеем точку (0,0). Точка (0,0) не является решением так как исходное уравнение не существует в этой точке → точка (0,0) – особая. Её называют «центром». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «центр» (см. рисунок).





Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 2128 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...