![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
К особым точкам дифференциального уравнения F(x,y, y′)=0 относят точки, в которых нарушается либо «существование», либо «единственность» решения.
Заметим также, что условия теоремы 1.1 являются лишь достаточными, но не необходимыми. Поэтому особые точки ДУ следует искать среди точек разрыва функции f (x,y) и точек, где не существует производная , но не все такие точки обязательно особые!
Поведение интегральных кривых в окрестности особой точки бывает различным. Мы рассмотрим уравнение, особая точка которого очевидна – (0,0):
y′ = .
☺☺
Пример 1 – 06: Для дифференциального уравнения: y′ = установить вид особой точки (0,0).
Решение:
1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются:
=2
. (1)
2). Общее решение уравнения (1): y =Сx2.
3). При любом C имеем параболу, содержащую точку (0,0), то есть в этой точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «узлом»
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «узел» (см. рисунок).
Пример 1 – 07: Для дифференциального уравнения: y′ = установить вид особой точки (0,0).
Решение:
1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются:
=
. (1)
2). Общее решение уравнения (1): y =С x.
3). При любом C имеем прямую, содержащую точку (0,0), то есть в этой точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «дикритическим узлом». Отличается от предыдущего тем, что в особой точке каждая интегральная кривая имеет своё направление.
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «дикритический узел» (см. рисунок).
Пример 1 – 08: Для дифференциального уравнения: y′ =– установить вид особой точки (0,0).
Решение:
1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются:
=–
. (1)
2). Общее решение уравнения (1): xy =С – семейство гипербол.
3). При C=0 имеем оси координат: x =0, y =0. В точке (0,0) точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «седловиной». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «седловина» (см. рисунок).
Пример 1 – 09: Для дифференциального уравнения: y′ = установить вид особой точки.
Решение:
1). Легко видеть, что уравнение однородное: xu′ = – u, или xu′ =
. (1)
2). Общее решение уравнения (1): arctgu –
ln (1+ u 2)= ln С x, или x
=С earctgu, или
=
. Перейдем к полярным координатам: ρ=С eφ – семейство логарифмических спиралей, которые образуют вокруг начала координат неограниченное число витков (при φ=–∞).
3). При C=0 имеем точку (0,0). В точке (0,0) нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «фокусом». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «фокус» (см. рисунок).
Пример 1 – 10: Для дифференциального уравнения: y′ =– установить вид особой точки (0,0).
Решение:
1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются: xdx+ydy =0. (1)
2). Общее решение уравнения (1): x 2+ y 2=С – семейство концентрических окружностей.
3). При C=0 имеем точку (0,0). Точка (0,0) не является решением так как исходное уравнение не существует в этой точке → точка (0,0) – особая. Её называют «центром». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «центр» (см. рисунок).
☻
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 2147 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!