Особые точки дифференциального уравнения 1-го порядка

К особым точкам дифференциального уравнения F(x,y, y′)=0 относят точки, в которых нарушается либо «существование», либо «единственность» решения.

Заметим также, что условия теоремы 1.1 являются лишь достаточными, но не необходимыми. Поэтому особые точки ДУ следует искать среди точек разрыва функции f (x,y) и точек, где не существует производная , но не все такие точки обязательно особые!

Поведение интегральных кривых в окрестности особой точки бывает различным. Мы рассмотрим уравнение, особая точка которого очевидна – (0,0):

y′ = .

☺☺

Пример 1 – 06: Для дифференциального уравнения: y′ = установить вид особой точки (0,0).

Решение:

1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются: =2 . (1)

2). Общее решение уравнения (1): y =Сx².

3). При любом C имеем параболу, содержащую точку (0,0), то есть в этой точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «узлом»

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «узел» (см. рисунок).

Пример 1 – 07: Для дифференциального уравнения: y′ = установить вид особой точки (0,0).

Решение:

1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются: = . (1)

2). Общее решение уравнения (1): y =С x.

3). При любом C имеем прямую, содержащую точку (0,0), то есть в этой точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «дикритическим узлом». Отличается от предыдущего тем, что в особой точке каждая интегральная кривая имеет своё направление.

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «дикритический узел» (см. рисунок).

Пример 1 – 08: Для дифференциального уравнения: y′ =– установить вид особой точки (0,0).

Решение:

1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются: =– . (1)

2). Общее решение уравнения (1): xy =С – семейство гипербол.

3). При C=0 имеем оси координат: x =0, y =0. В точке (0,0) точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «седловиной». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «седловина» (см. рисунок).

Пример 1 – 09: Для дифференциального уравнения: y′ = установить вид особой точки.

Решение:

1). Легко видеть, что уравнение однородное: xu′ = – u, или xu′ = . (1)

2). Общее решение уравнения (1): arctgu – ln (1+ u ²)= ln С x, или x =С e^arctgu, или = . Перейдем к полярным координатам: ρ=С e^φ – семейство логарифмических спиралей, которые образуют вокруг начала координат неограниченное число витков (при φ=–∞).

3). При C=0 имеем точку (0,0). В точке (0,0) нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «фокусом». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «фокус» (см. рисунок).

Пример 1 – 10: Для дифференциального уравнения: y′ =– установить вид особой точки (0,0).

Решение:

1). Легко видеть, что в уравнении переменные и легко разделяются: xdx+ydy =0. (1)

2). Общее решение уравнения (1): x ²+ y ²=С – семейство концентрических окружностей.

3). При C=0 имеем точку (0,0). Точка (0,0) не является решением так как исходное уравнение не существует в этой точке → точка (0,0) – особая. Её называют «центром». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.

Ответ: Особая точка заданного ДУ– «центр» (см. рисунок).

☻