Глава 1. Общие сведения. Теорема о существовании и единственности решения ДУ 1-го порядка. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

С формальной точки зрения задачу решения дифференциального уравнения (кратко ДУ) можно рассматривать как задачу, обратную задаче дифференцирования.

Пусть имели функцию y = y (x) и определили её дифференциал: dy = y′ (x) dx. Представим себе, что информация о функции y = y (x) утеряна и возникла необходимость её восстановить. Это и есть задача решения простейшего дифференциального уравнения. Символически её обозначают так: y = +C.

Основные понятия

В математическом анализе для произвольной функции определены понятия дифференциалов и производных. Если дифференцирование заданной функции производится несколько раз, то устанавливаются понятия дифференциалов и производных высших порядков. Эти понятия при изучении ДУ являются базовыми. Заметим также, что в изучаемом курсе предполагается, что независимые переменные вещественные.

Определение: (1.1)

Дифференциальным уравнением называют равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные (или дифференциалы). Различают дифференциальные уравнения: 1) обыкновенные: функция зависит только от одной переменной; 2) в частных производных: функция зависит от нескольких переменных.

Замечание: 1). Мы будем изучать только обыкновенные ДУ.

2). Классификация форм записи ДУ использует в основном обозначения производных. При необходимости переход к форме «записи в дифференциалах» осуществляется по правилам математического анализа.

3). При решении обыкновенных ДУ первого порядка всегда предполагается «равноправие» переменных x и y: решение можно получить как в форме y = y (x), так и в форме x = x (y).

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:

F(x, y, y′, y′′,…, y ⁽ⁿ⁾) = 0, (1)

где y = y (x) – искомая функция независимой переменной x; y′, y′′,…, y ⁽ⁿ⁾ – производные функции по x. Участие в записи ДУ производной y ⁽ⁿ⁾ определяет порядок уравнения, а именно: n –й.

☺☺

Пример 1 – 01: Задано ДУ: y′′y ⁽⁷⁾– y′x ⁹= . Определить порядок этого уравнения.

Решение:

1). При определении порядка дифференциального уравнения учитывают принятые обозначения производной: y′, y′′,…, y^V, y ⁽⁶⁾,…, y ⁽ⁿ⁾.

2). В заданном уравнении «старшей» производной является y ⁽⁸⁾. То, что эта производная находится под корнем, не имеет никакого значения!

3). Присутствие степени x ⁹ не имеет отношения к обозначениям производной и не участвует в формировании порядка ДУ.

Ответ: порядок заданного уравнения n =8.

☻

В теории ДУ чаще всего используют запись:

y ⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y′, y′′,…, y ^(n–1)), (2)

уравнение разрешено относительно старшей производной y ⁽ⁿ⁾, такую запись называют нормальной формой записи. Уравнение называют линейным, если его форма записи:

y ⁽ⁿ⁾) + a ₁(x) y ^(n–1) +… + a _n-1(x) y′ + a _n y = f (x), (3)

Совокупность уравнений:

(4)

где y ₁,…, y _n – искомые функции от x, называется системой обыкновенных ДУ. Если эта система разрешена относительно производных от искомых функций, то её называют нормальной системой уравнений:

(5)

Если нормальная система имеет вид:

(6)

то её называют линейной.

Пусть заданы дифференциальное уравнение (в любой из форм) и функция y = y (x). Что значит утверждение: функция y = y (x) является решением заданного ДУ?

Определение: (1.2)

Решением (интегралом) дифференциального уравнения называется всякая функция y = y (x), которая, будучи подставлена в заданное ДУ, превращает его в тождество.

Процесс нахождения решений ДУ называется интегрированием этого уравнения. Основная задача интегрирования ДУ: найти все решения уравнения и изучить их свойства.

Формы записи решений заданного ДУ могут различаться. Как правило, решения содержат произвольные постоянные. Роль этих постоянных будет уточняться при рассмотрении конкретных ДУ. Для нас в первую очередь важна роль произвольных постоянных в «Задаче Коши».

Пусть имеем ДУ: F (x, y, y′, y′′,…, y ⁽ⁿ⁾)=0. Требуется найти решение уравнения y = y (x), которое удовлетворяет дополнительным условиям при заданном числовом значении x ₀:

y = y ₀, y′ = , y′′ = ,…, y ^(n–1) = . (7)

Такая задача называется Задачей Коши. Числа: x ₀, y ₀, , ,…, называют начальными условиями.

Рассмотрим реализацию задачи Коши на простейших уравнениях первого и второго порядков.

Пусть найдено решение ДУ 1-го порядка в форме: y = y (x,С), где С – произвольная постоянная. Геометрически это можно представить как семейство кривых на плоскости OXY, зависящее от одного параметра. Если через каждую точку плоскости проходит кривая семейства, то задача Коши означает выделение из семейства той кривой, которая проходит через точку (x ₀, y ₀). Алгебраически это означает решить уравнение: y ₀= y (x ₀ ,С), т.е. найти значение С, выделяющее «нужную» кривую. Следует: для решения задачи Коши в случае уравнения 1-го порядка полученное интегрированием решение должно содержать одну произвольную постоянную.

Пусть найдено решение ДУ 2-го порядка в форме: y = y (x,С ₁ ,С ₂), где С ₁ ,С ₂ – произвольные постоянные. Геометрически это можно представить как семейство кривых на плоскости OXY, зависящее от двух параметров. Если через каждую точку плоскости проходит кривая семейства, то задача Коши означает выделение из семейства той кривой, которая проходит через точку (x ₀, y ₀) и имеет заданный угловой коэффициент: . Алгебраически это означает решить систему уравнений: y ₀= y (x ₀ ,С ₁ ,С ₂) и = y′ (x ₀ ,С ₁ ,С ₂), т.е. найти значения С ₁ ,С ₂, выделяющие «нужную» кривую. Следует: для решения задачи Коши в случае уравнения 2-го порядка полученное интегрированием решение должно содержать две произвольные постоянные.

Обобщение: для решения задачи Коши в случае уравнения n-го порядка необходимо, чтобы решение содержало n произвольных постоянных.

При решении задачи Коши принципиальным моментом является определение произвольных постоянных, обеспечивающих выполнение начальных условий.

Определение: (1.3)

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называют функцию y = y (x,С 1 ,С 2,…, С n), которая зависит от n произвольных постоянных и удовлетворяет условиям: 1). Функция y = y (x,С 1 ,С 2,…, С n) – решение ДУ при любых С 1 ,С 2,…, С n; 2). Для начальных условий: y 0, , ,…, в точке (x 0, y 0) можно определить все С 1 ,С 2,…, С n, обеспечивающие выполнение начальных условий.

Из определения общего решения следует алгебраическая задача: имеется n уравнений с неизвестными величинами С ₁ ,С ₂,…, С _n. Необходимо определить эти неизвестные из системы уравнений:

(8)

Если заданное ДУ других решений, кроме решения y = y (x,С ₁ ,С ₂,…, С _n), не имеет и система (8) имеет единственное решение при определении произвольных постоянных С ₁ ,С ₂,…, С _n, то мы «наблюдаем» реализацию «Теоремы о существовании и единственности решения заданного ДУ».

Замечание: При решении ДУ 1-го порядка получение решения ДУ в виде явной функции y = φ (x,С) следует рассматривать как самый простой случай, который не часто наблюдается. Учитывая возможности вычисления неопределенных интегралов, следует также иметь в виду, что «берущихся интегралов» совсем немного. Это значит, что получить аналитическое выражение решения чаще не удаётся. Мы будем считать, что ДУ решено даже в случае, если удалось просто расставить символы интегрирования! Все эти случаи объединим одним общим «выражением»:

Ф(x,y,С)=0 – общий интеграл (С – произвольная постоянная).

Имея определение «общего решения», определим понятие «частного» решения ДУ.

Определение: (1.4)

Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется: 1). Функция y = y (x,С 1 ,С 2,…, С n) решения ДУ при любых частных значениях постоянных С 1 ,С 2,…, С n; 2). Любая функция, которая обращает ДУ в тождество.

Выражение Ф(x,y,С)=0 общего интеграла ДУ 1-го порядка при С = С ₀ называют частным интегралом. Так как на плоскости OXY решение y = y (x,С) при любом значении С изображается кривой, то каждую их них называют интегральной кривой. То же говорят и в случае использования выражения Ф(x,y,С)=0.