Метод прогонки

Метод прогонки или алгоритм Томаса (англ. Thomas algorithm) используется для решения систем линейных уравнений вида , где A — трёхдиагональная матрица.

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби называют матрицу следующего вида:

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математики и физики. Краевые условия x ₁ и x_n, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода F (x = x ₁) = F ₁ определит первую строку в виде C ₁ = 1, B ₁ = 0, а условие второго рода dF / dx (x = x ₁) = F ₁ будет соответствовать значениям C ₁ = − 1, B ₁ = 1.

Описание метода

Система уравнений равносильна соотношению

Метод прогонки основывается на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

где

Используя это соотношение, выразим x_i-1 и x_i через x_i+1 и подставим в уравнение (1):

,

где F_i — правая часть i -го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

Отсюда следует:

Из первого уравнения получим:

После нахождения прогоночных коэффициентов α и β, используя уравнение (2), получим решение системы. При этом,

Другим способом объяснения существа метода прогонки, более близким к терминологии конечно-разностных методов и объясняющим происхождение его названия, является следующий: преобразуем уравнение (1) к эквивалентному ему уравнению

c надиагональной матрицей

.

Вычисления проводятся в два этапа. На первом этапе вычисляются компоненты матрицы и вектора , начиная с до

и

На втором этапе, для вычисляется решение:

Такая схема вычисления объясняет также английский термин этого метода «shuttle».

Для применимости формул метода прогонки достаточно свойства диагонального преобладания у матрицы A.

Обратите внимание на особенность работы с матричными формулами: необходимо предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Теперь рассмотрим решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера на следующих примерах.

Пример 2.1. Решить систему методом обратной матрицы:

В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel (рис. 2.1).

Рис.2.1 Окно ЭТ MS Excel

В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:Е4, а вектор b в диапазоне G1:G4. Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы (это нужно сделать обязательно!!!); пусть в нашем случае это будут ячейки B6:E9. Теперь обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР, предназначенную для вычисления обратной матрицы (рис. 2.2), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций.

Рис. 2.2 Окно Мастера функций.

В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив (рис.2.3). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица - в нашем случае B1:E4. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Рис. 2.3 Окно функции МОБР (нахождение обратной матрицы)

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет вид изображенный на рис. 2.4.

Рис. 2.4 Окно рабочей книги MS Excel

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9. Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ, которая предназначена для умножения матриц. Напомним, что умножение матриц происходит по правилу строка на столбец и матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Кроме того, при умножении матриц важен порядок сомножителей, т.е. АВ≠ВА

Перейдём ко второму шагу мастера функций. Появившееся диалоговое окно (рис. 2.5) содержит два поля ввода Массив1 и Массив2. В поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G1:G4 (вектор b).

Рис. 2.5 Окно функции МУМНОЖ – умножение матриц.

Если поля ввода заполнены, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для того чтобы получить весь вектор, необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений (вектор х), находится в ячейках H6:H9.

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор x и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(В1:Е4;Н6:Н9), так как было описанной выше.

В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид изображенный на рис. 2.6.

Рис.2.6 Окно рабочей книги MS Excel с результатами проверки.

Пример 2.2. Решим систему из ПРИМЕРА 2.1 методом Крамера.

Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Кроме того, сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рис.2.7).

Рис. 2.7 Окно рабочей книги MS Excel с четырьмя вспомогательными матрицами

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B1:E4.

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

I11=МОПРЕД(B6:E9), I12=МОПРЕД(B11:E14), I13=МОПРЕД(B16:E19), I14=МОПРЕД(B21:E24).

В результате в ячейке I10 хранится главный определитель, а в ячейках I11:I14 - вспомогательные.

Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку K11 введём формулу =I11/$I$10. Затем скопируем её содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.

Пример 2.3. Вычислить матрицу С по формуле: C=A2+2AB, где

Введем исходные данные на рабочий лист (рис. 3.8).

Для умножения матрицы А на матрицу В, выделим диапазон B5:D7 и воспользуемся функцией МУМНОЖ(B1:D3;G1:I3).

Результат вычисления A²=A*A поместим в ячейки G5:I7, воспользовавшись формулой МУМНОЖ(B1:D3;B1:D3).

Умножение (деление) матрицы на число можно выполнить при помощи элементарных операций. В нашем случае необходимо умножить матрицу из диапазона B5:D7 на число 2. Выделим ячейки B9:D11 и введем формулу =2*B5:D7.

Сложение (вычитание) матриц выполняется аналогично. Например, выделим диапазон G9:I11 и введем формул =B9:D11+ G5:I7.

Для получения результата в обоих случаях необходимо нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Кроме того, в строке формул рабочего листа, изображенного на рис.2.8, показано как можно вычислить матрицу С одним выражением.

Рис. 2.8 Окно рабочей книги MS Excel с результатом вычисления

Контрольные вопросы:

1. Алгоритм решения СЛАУ метом Жордана –Гаусса.

2. Итерационные методы решения СЛАУ.

3. Решение СЛАУ методом прогонки. Понятие трехдиаганальной матрицы.

4. Метод Гаусса. Прямой и обратный ход.

5. Матричный метод решения СЛАУ.

6. Суть метода Крамера для решении СЛАУ.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Решить систему уравнений методом Крамера.

2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

3. Выполнить действия над матрицами.

При решении систем обязательно выполнить проверку.

Варианты индивидуальных заданий. ( таблица 3.2 Приложения)

Содержание отчёта.

В отчёт по выполненной работе должны входить:

1. Индивидуальное задание.
2. РешениеСЛАУвручную (1-й вариант – методом Гаусса, 2-й вариант – методом Крамера, 3-й вариант – методом обратной матрицы, 4-й вариант – методом полных исключений).
3. Результаты решения СЛАУ с использованием ЭТ MS Excel.