Лабораторная работа№ 1 абсолютная и относительная погрешности

Цель работы: изучение влияния различных видов погрешностей на результаты вычислений на ЭВМ, приобретение практических навыков использования Microsoft Excel для реализации методов нахождения погрешностей вычислений.

Пусть X точное значение, х при­ближенное значение некоторого числа.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна модулю разности между его точным и приближенным значениями:

Однако точное значение X зачастую неизвестно, поэтому вместо абсо­лютной погрешности используют понятие границы абсолютной по­грешности:

Число Δх* заведомо равно или превышает значение абсолютной по­грешности Δх и называется предельной абсолютной погрешностью.

Часто применяется запись: X = х± Δх*.

Следует отметить, что абсолютная погрешность не полностью ха­рактеризует результат. Например, абсолютная погрешность в I мм никчемна при оценке расстояния от Москвы до Рио-де-Жанейро и абсурдна при поиске расстояний между молекулами твердого вещества. Поэтому основной характеристикой точности является относительная погрешность.

Относительная погрешность — это отношение абсолютной по­грешности к приближенному значению числа:

Относительная погрешность иногда измеряется в процентах, тогда

Действия над приближенными числами. Результат действий над приближенными числами представляет собой также приближенное число. Погрешность результата может быть выражена через погреш­ности первоначальных данных по нижеследующим правилам.

1. При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешно­сти складываются: Δ (a±b) = Δa + Δb.

2. Относительная погрешность разности или суммы двух чисел вычисляется по формулам:

3. При умножении или делении чисел друг на друга их относи­тельные погрешности складываются:

4. При возведении в степень приближенного числа его относи­тельная погрешность умножается на показатель степени: δ(а^к) = кδа.

Погрешность функции. Общая формула для оценки предельной абсолютной погрешности функции нескольких переменных u=f(x₁, x₂,...,x_n) имеет вид:

где Δх* _i — предельная абсолютная погрешность числа x_i (i = 1, 2,..., n).

Задание I. Пользуясь мастерам функции вспомнить основные функции Microsoft Excel и особенности их вычисления. Протабулировать функции и на отрезке [-3; 3] с шагом h = 1, построить графики данных функций.

Графики функций

Рис. 1.1. Значения и графики функции и на отрезке [-3; 3]

При выполнении задания 1 вводится только левый конец отрез­ка— значение х =-3 (ячейка В2), затем в ячейки С2, В3, В4 записываются соответствующие формулы и распространяются вправо. Значения функций у1, у2 выведены с тремя знаками после запятой (Формат/Ячейки/Число).

При построении графика выбирается тип диаграммы «точеч­ный», затем готовый график редактируется по образцу (см. рис. 1.1) с помощью команд: Формат оси (установить по оси Ох min=-3, тах=3, цену основных делений=1), Формат области построения, Парамет­ры диаграммы.

Задание 2. В ходе вычислений получены приближенные значения некоторых величин: а = 5,256, b= 2,892. Установить, какой из ре­зультатов более точен, если известны их истинные значения: А = 5,158 и В = 2,814.

Для решения задачи использовать табличный процессор Microsoft Excel, рекомендуемый вид экрана приведен на рис. 1.2.

Рис.1.2. Сравнение относительных погрешностей приближенных величин

При решении задания 2 вводятся начальные значения в ячейках С4:С5: Е4;Е5. Остальные значения рассчитываются средствами Microsoft Еxcel по формулам, приведенным выше. Для отображения относительной погрешности в процентах, установите соответствующий формат ячейки.

Задание 3. Известно, что

, где А =1,34±0,02; B =7,98±0,05; С =52,74±0,1.

1. Найти предельную абсолютную погрешность Δх^* функции х. Исходная функция х является функцией трех переменных: а, b, с. Для оценки предельной абсолютной погрешности воспользуемся формулой:

Найдем частные производные функции

Риc. 1.3. Типовой экран для вычисления абсолютной и относительной погрешностей функции х(а, b. с)

Введем исходные данные в блок АЗ:В8 (см. pис. 1.3). В ячейках СЗ:С8 вычислим значения

И ячейку F10 запишем формулу

для вычисления предельной абсолютной погрешности

2. Найти абсолютную погрешность Δх функции х

В ячейках D3:D8 рассчитаем верхнюю оценку значений переменных: а_в =1,34+0,02 (=А4+В4), аналогично b_в, с_в. В ячейке В10 вычислим верхнюю оценку значения функции

Нижняя оценка значения функции вычисляется в ячейках ЕЗ:Е8 и В11 аналогично

Значение абсолютной погрешности функции ищется по формуле

в ячейке F11. Найденная абсолютная погрешность (ячейка F11) должна быть не больше предельной абсолютной погрешности (ячейка F10), т.е. должно выполняться условие: Δх ≤ Δх *.

3. Вычислить относительную погрешность δх функции х. Исходные данные позволяют вычислить значение х при а=1,34; b=7_,98; c=52,74 в ячейке В12, а к ячейке F12 — рассчитать значение относительной погрешности δх, используя найденное выше значение абсолютной погрешности Δх.

4. Оценить предельную относительную погрешность функции x.

Предельная относительная погрешность заданной функции, согласно рассмотренным выше формулам, представима в виде

Запишите полученную формулу в ячейку F13. Убедитесь в том, что значение относительной погрешности не превосходит значения предельной относительной погрешности, т,е, δх ≤ δх*.

Примеры решения задач.

Пример 1. Найти предельную абсолютную погрешность функции

при заданных значениях А==4±0,01; В=7±0,04.

Решение

Пример 2. Найти предельную абсолютную погрешность функции y=a-b при заданных значениях А==4±0,01; В=7±0,04.

Решение

Пример 3. Найти абсолютную погрешность функции

при заданных значениях a=4±0,01; b=7±0,04; C=5±01.

Решение.

Пример 4.Найти предельную относительную погрешность функции

при заданных значения a=4±0,01; b=7±0,04;

Решение.

Пример 5. Найти предельную относительную погрешность функ­ции

при заданных значениях a=4±0,01; b=7±0,04;

Решение

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 4. Скопировать задание 3 на новый лист. Внести данные своего варианта в ячейки AЗ:В8 (см. рис. 1.3) из таблицы I приложе­ния. Вычислить х_в, х_н, х (ячейки B10, В11, В12). Вычислить частные производные и заполнить формулами ячейки С4. С6, С8. Изменить формулу вычисления предельной относительной погрешности δх * в ячейке F13, пользуясь основными правилами. Все остальные ячейки пересчитаются автоматически. Оформить отчет для своего варианта.

Задание 5. Решить в тетради следующую задачу.

Известно, что A=4±0,01; B=8±0,04; С=5+0,1. Найти предельную относительную погрешность δу*следующих функций:

Найти предельную абсолютную погрешность Δу*следующих функций:

Контрольные вопросы

1. Запись основных математических функций в Excel

2. Определение абсолютной к относительной погрешности.

3. Основные правила вычисления абсолютной и относительной погреш­ностей.

Отчет должен содержать:

1. Распечатку листа MS Excel, с выполненным Заданием 4 в соответствии с индивидуальным вариантом (приложение – таблица 3.1).

2. Выполненное вручную Задание 5.