![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Цель работы: п риобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений и выполнение действий над матрицами средствами пакета Ms Excel.
В связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ большое значение приобрели численные методы.
Система m линейных уравненийс n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида
![]() | (1) |
Здесь x 1, x 2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a 11, a 12, …, amn — коэффициенты системы — и b 1, b 2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.
Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b 1 = b 2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.
Решение системы (1) — совокупность n чисел c 1, c 2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.
Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.
Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.
Решения c 1(1), c 2(1), …, cn (1) и c 1(2), c 2(2), …, cn (2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:
c 1(1) = c 1(2), c 2(1) = c 2(2), …, cn (1) = cn (2). |
Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:
или:
A x = B.
Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.
Методы решения
Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.
Прямые методы
· Метод Гаусса
· Метод Гаусса — Жордана
· Метод Крамера
· Матричный метод
· Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)
· Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)
Итерационные методы
· Метод Якоби (метод простой итерации)
· Метод Гаусса — Зейделя
· Метод релаксации
· Многосеточный метод
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 634 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!