Экстремум функции двух переменных

Пусть функция определена в некоторой области D и — внутренняя точка области.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки M ₀ такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство:

Точки (локального) максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума дает следующая теорема.

Теорема. Пусть — точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные

и (11)

Другими словами, .

Точку M ₀, в которой выполнены условия (11), называют стационарной точкой функции.

Экстремум функции возможен не только в её стационарных точках, но и в таких точках, в которых не существует, т. е. не существует хотя бы одна из частных производных или . Такие точки вместе со стационарными называются критическими точками функции.

Не любая критическая точка функции является точкой экстремума. Следующая теорема устанавливает достаточные условия экстремума функции в стационарной точке.

Теорема. Пусть — стационарная точка функции , т. е. и , и в некоторой окрестности этой точки все частные производные второго порядка функции непрерывны.

Обозначим:

(12)

Тогда:

1) если то в точке функция имеет экстремум: минимум, если , и максимум, если ;

2) если то в точке функция не имеет экстремума;

3) если то вопрос о наличии экстремума требует дополнительного исследования (назовем случай неопределенным).

Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум:

1) найти область определения функции;

2) определить критические точки функции в ее области определения, т. е. точки, в которых частные производные и равны нулю или не существуют;

3) определить частные производные второго порядка;

4) проверить выполнение достаточных условий экстремума (12) для каждой стационарной точки;

5) вычислить значения функции в точках экстремума.

Задание 5. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Исследование функции на экстремум проводим согласно вышеуказанному алгоритму.

1. Область определения функции — вся плоскость OXY.

Обе частные производные определены для любых . Следовательно, точками, подозрительными на экстремум, могут быть только стационарные точки. Определим их из условий

Решив систему уравнений, получим координаты стационарных точек:

M ₀ (0, 0); М ₁ (0, 2); М₂ (2, 0); М ₃ (, ).

3.

4. Точка M ₀ (0, 0):

Следовательно, в точке M ₀(0, 0) данная функция экстремума не имеет.

Точка M ₁ (0, 2):

В точке M ₁ (0, 2) функция экстремума не имеет.

Точка M ₂ (2, 0):

В точке M ₂ (2, 0) экстремума нет.

Точка :

В точке M ₃ функция имеет экстремум, так как , то — точка максимума функции.

5.