Частные производные функции нескольких переменных

Замечание. Таблицы 1,2 и 3 приведены в конце.

Пусть функция z = f (x, y) определена в области и М ₀ (х ₀, y ₀) D. Дадим аргументу x произвольное приращение ∆ x и аргументу y — приращение ∆ y так, чтобы точка .

Полным приращением функции z = f (x, y) в точке М ₀ (х ₀, y ₀) называется разность .

Частные приращения функции f (x, y) по переменным x и y равны соответственно:

,

.

Частными производными функции z (x, y) в точке (х ₀, y ₀) по x и по y называются пределы вида:

, ,

если они существуют и конечны.

Другие обозначения частных производных функции

или , или

Если необходимо, в скобках указывается точка (х ₀, y ₀), в которой вычислены частные производные:

или и т. д.

Из определения частных производных следует правило их нахождения: частная производная по x есть обыкновенная производная по x функции f (x, y), вычисленная при условии, что y = const. При этом используются обычные правила и формулы дифференцирования функции одной переменной (табл. 2).

Аналогично, если u = u (x, y, z), то вычисляют при y, z = const, — при x, z = const, при x, y = const.

Задание 3. Найти частные производные первого порядка от функции по каждому ее аргументу:

a)