Исходные данные для выполнения задания №1. 4 страница

- если между переменными не наблюдается статистической связи, то коэффициент корреляции равен нулю.

Из вышесказанного следует, что чем ближе значение к , тем вероятнее наличие корреляционной связи между факторным и результирующим признаком.

Значимость корреляционной связи оценивают, проверяя статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на заранее выбранном уровне значимости . Критерием для принятия нулевой гипотезы является выполнение следующего условия:

, (4.2)

где критическая точка распределения Стьюдента с степенями свободы при уровнем значимости (Приложение). В случае если нулевая гипотеза отвергается и считается, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, то для коэффициента корреляции в генеральной совокупности значений факторного и результирующего признака указывается доверительный интервал с уровнем доверительной вероятности :

. (4.3)

Проведем расчет указанных величин по данным рассматриваемого примера. Для проведения расчета составим и заполним вспомогательную таблицу 4.3, выполняя следующие действия:

- в столбцы 1, 2 заносим значения факторного признака и результирующего признака ;

- определяем среднее арифметическое значений факторного признака - (сумма значений столбца 2, деленная на общее количество значений):

;

- определяем среднее арифметическое значений результирующего признака - (сумма значений столбца 3, деленная на общее количество значений):

.

- используя значения и , последовательно заполняем столбцы 4 – 8.

Рассчитываем значение выборочного коэффициента корреляции между величинами и (сумма значений столбца 8, деленная на квадратный корень из произведения сумм значений столбцов 6 и 7):

.

Значение коэффициента корреляции очень близко к +1, что указывает на наличие очень тесной линейной связи между исследуемыми переменными.

Проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции. Выберем уровень значимости и рассчитаем значение величины (4.2):

.

По таблице значений критических точек распределения Стьюдента (Приложение 2) при 18 степенях свободы и уровне значимости находим значение . Условие (4.2) не выполняется, следовательно рассчитанное значение коэффициента корреляции не может быть объяснено только случайными причинами и связь необходимо признать значимой.

Рассчитаем - й доверительный интервал для коэффициента корреляции в генеральной совокупности значений факторного и результирующего признаков (4.3):

.

Таким образом, интервал 0,966 – 0,999 с вероятностью 95% содержит в себе значение коэффициента корреляции в генеральной совокупности значений факторного и результирующего признака.

Таблица 4.3 - Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции

№	x	y
	658,0	11,9	-332,825	-4,97	110772,5	24,7009	1654,14
	700,4	12,1	-290,425	-4,77	84346,68	22,7529	1385,327
	740,6	12,1	-250,225	-4,77	62612,55	22,7529	1193,573
	774,4	12,5	-216,425	-4,37	46839,78	19,0969	945,7773
	816,2	12,8	-174,625	-4,07	30493,89	16,5649	710,7238
	853,5	13,6	-137,325	-3,27	18858,16	10,6929	449,0528
	876,8	14,4	-114,03	-2,47	13001,7	6,1009	281,6418
	900,0	14,8	-90,825	-2,07	8249,181	4,2849	188,0078
	951,4	15,7	-39,425	-1,17	1554,331	1,3689	46,12725
	1007,9	16,9	17,075	0,03	291,5556	0,0009	0,51225
	1004,8	17,6	13,975	0,73	195,3006	0,5329	10,20175
	1010,8	17,9	19,975	1,03	399,0006	1,0609	20,57425
	1056,2	18,0	65,375	1,13	4273,891	1,2769	73,87375
	1105,4	19,2	114,575	2,33	13127,43	5,4289	266,9598
	1162,3	18,6	171,475	1,73	29403,68	2,9929	296,6518
	1200,7	20,1	209,875	3,23	44047,52	10,4329	677,8963
	1209,5	21,5	218,675	4,63	47818,76	21,4369	1012,465
	1248,6	22,0	257,775	5,13	66447,95	26,3169	1322,386
	1254,4	22,4	263,575	5,53	69471,78	30,5809	1457,57
	1284,6	23,3	293,775	6,43	86303,75	41,3449	1888,973
	19816,5	337,4			738509,4	269,722	13882,44

После установления факта наличия линейной корреляционной связи осуществляют процедуру регрессионного анализа, сущность которого заключается в построении уравнения, характеризующего закон изменения значений условных средних , , …, при изменении значений факторных переменных. В случае парной корреляции, если методами корреляционного анализа установлено, что между факторной и результирующей переменной существует линейная связь, то закон изменения условных средних ищется в виде следующего уравнения (уравнения парной линейной регрессии):

, (4.4)

где и неизвестные параметры, значения которых определяются по данным, полученным в результате наблюдений (т.е. по данным таблицы 4.1). Для определения параметров и наиболее часто используется метод наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений от значений, рассчитанных по формуле (3.4). Данная сумма как функция неизвестных параметров и имеет следующий вид:

. (4.5)

Для минимизации данной функции необходимо взять частные производные данной функции по параметрам и и приравнять их к нулю в точке ():

;

.

После преобразований получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

. (4.6)

Из первого уравнения данной системы получаем:

. (4.7)

Откуда видно, что искомое уравнение проходит через точку с координатами (). Подставляя полученное выражение для во второе уравнение системы (4.6) имеем:

. (4.8)

Выражение (4.8) имеет смысл только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. Т.к. знаменатель представляет собой не что иное, как выражение для дисперсии факторного признака , то можно сделать следующий важный вывод: уравнение линейной регрессии не может быть построено, если значение выборочной дисперсии факторной переменной равно нулю.

Таким образом, уравнение линейной регрессии после определения значений параметров и приобретает вид:

. (4.9)

Разность фактических и расчетных значений результирующей переменной:

, (4.10)

при определенном называется остатком или случайной составляющей в - м наблюдении. При проведении регрессионного анализа предполагается, что случайная составляющая в каждом из -х наблюдений подчиняется нормальному закону распределения с параметрами и .

Оценку дисперсии случайной составляющей рассчитывают по следующей формуле:

. (4.11)

Т. к. параметры уравнения регрессии и оцениваются по выборочным данным, то очевидно, данные значения сами по себе являются случайными величинами, поэтому необходимо проводить оценку значимости данных параметров и указывать доверительные интервалы для значений данных параметров в генеральной совокупности значений факторного и результирующего признака.

Значимость параметров регрессии обычно оценивают, проверяя статистические гипотезы и при альтернативных гипотезах и с использованием следующих соотношений ( критериев):

, . (4.12)

, , (4.13)

распределенных по закону Стьюдента с степенями свободы. Критерием принятия соответствующей нулевой гипотезы является выполнение условий:

; (4.14)

, (4.15)

где - критическая точка распределения Стьюдента с степенями свободы, соответствующая уровню значимости . При невыполнении какого-либо из соотношений (4.14 – 4.15) соответствующий параметр признается незначимым. В случае значимости параметров и для их значений в генеральной совокупности значений факторной и результирующей переменной указываются доверительные интервалы с уровнем доверия в следующем виде:

- для параметра :

; (4.16)

. (4.17)

В качестве показателя, характеризующего качество разработанной модели в целом, используется коэффициент детерминации , равный:

(4.18)

который показывает, какая доля вариации значений результирующего признака объясняется влиянием факторного признака. Коэффициент детерминации изменяется от нуля до единицы, и чем ближе его значение к единице, тем лучше модель описывает результаты наблюдений.

Основной целью разработки регрессионных моделей является оценка уровня возможных изменений результирующего признака при изменении значений факторного признака, т. е. научно обоснованное прогнозирование развития изучаемого явления. При известном значении факторного признака прогноз значений результирующего признака "в среднем" осуществляется подстановкой данного значения в полученное уравнение регрессии:

. (4.19)

Кроме того, с вероятностью может быть дан интервальный прогноз величины :

, (4.20)

Разработаем уравнение линейной регрессии расходов на медицинские услуги на величину личного дохода по данным рассматриваемого примера. Для проведения расчетов сформируем вспомогательную таблицу 4.4. Используя данные столбцов 2–5 определяем значения параметров уравнения линейной регрессии и :

;

.

Таким образом, уравнение линейной регрессии затрат на медицинские услуги на величину личных доходов приобретает вид:

.

С использованием полученного уравнения последовательно рассчитаем значения , , и заполним столбцы 6 – 8 таблицы 4.4.

С использованием суммы столбца 8 рассчитаем оценку дисперсии случайной составляющей:

.

Таблица 4.4.

Вспомогательная таблица для разработки уравнения линейной регрессии

№	x	y	x2	xy		e	E2
	658,0	11,9		7830,2	10,62	-1,28	1,65	10,28809	10,94271
	700,4	12,1	490560,2	8474,84	11,41	-0,69	0,47	11,08525	11,73979
	740,6	12,1	548488,4	8961,26	12,17	0,07	0,005	11,84105	12,49551
	774,4	12,5	599695,4		12,80	0,30	0,09	12,47651	13,13093
	816,2	12,8	666182,4	10447,36	13,59	0,79	0,62	13,26238	13,91674
	853,5	13,6	728462,3	11607,6	14,29	0,70	0,48	13,96363	14,61797
	876,8	14,4	768778,2	12625,92	14,73	0,33	0,11	14,40168	15,056
	900,0	14,8			15,17	0,37	0,13	14,83785	15,49215
	951,4	15,7		14936,98	16,13	0,43	0,19	15,80418	16,45846
	1007,9	16,9		17033,51	17,19	0,29	0,09	16,86638	17,52066
	1004,8	17,6		17684,48	17,14	-0,46	0,22	16,8081	17,46238
	1010,8	17,9		18093,32	17,25	-0,65	0,43	16,9209	17,57518
	1056,2	18,0		19011,6	18,10	0,10	0,01	17,77442	18,4287
	1105,4	19,2		21223,68	19,03	-0,17	0,03	18,69936	19,35368
	1162,3	18,6		21618,78	20,10	1,50	2,24	19,76906	20,42342
	1200,7	20,1		24134,07	20,82	0,72	0,52	20,49095	21,14537
	1209,5	21,5		26004,25	20,98	-0,52	0,27	20,65639	21,31081
	1248,6	22,0		27469,2	21,72	-0,28	0,08	21,39144	22,04592
	1254,4	22,4		28098,56	21,83	-0,57	0,33	21,50047	22,15497
	1284,6	23,3		29931,18	22,40	-0,90	0,82	22,06821	22,72275
	19816,5	337,4		348186,8	337,45	0,05	8,76	10,28809	10,94271

Проверим значимость параметров регрессии. Выберем уровень значимости и рассчитаем значения критериев (4.12, 4.13) (при расчетах значение взято из столбца 6 таблицы 4.3):

;

.

Оба значения существенно больше критической точки распределения Стьюдента и, следовательно, нулевая гипотеза отвергается, и параметры уравнения регрессии необходимо считать значимыми.

Доверительные интервалы для параметров регрессии во всей генеральной совокупности значений факторного и результативного признака с уровнем доверительной вероятности 0,95 рассчитываем по формулам (4.16 – 4.17):

;

;

;

.

Таким образом, указанные интервалы с вероятностью 0,9 будут содержать в себе истинные значения параметров линейной регрессии.

Оценим качество модели с помощью коэффициента детерминации (4.18) (при расчетах значение величины взято из столбца 7 таблицы 4.3):

.

Таким образом, 97% вариации значений расходов на медицинские услуги обусловлены влиянием объема личного дохода.

Предположим, что в 1984 предполагается изменение совокупного личного дохода граждан до 1350 млрд. $. Дадим прогноз расходов на медицинские услуги с использованием разработанной модели. Значение расходов "в среднем" составит (4.19):

,

а истинное значение расходов будет содержаться в 95% - м доверительном интервале (3.20):

.

Таким образом, с вероятностью 0,95 указанный интервал будет содержать в себе истинное значение расходов на медицинские услуги. Аналогичным образом рассчитываем доверительные интервалы для всех значений и заполняем столбцы 9, 10 таблицы 4.4. Результаты расчетов представлены на рисунке 4.2

Рисунок 4.2 График регрессионной зависимости расходов на медицинское обслуживание от величины личного дохода.

Индивидуальные задания к теме "Анализ парной корреляции"

На стр. 64 – 70 приведены данные о функционировании ряда экономических систем за период в 15 лет. В качестве данных представлены: L - затраты на фактор труда; K - затраты на фактор капитала; Y - произведенный продукт. Каждая из переменных, приведена в млрд. долл. США.

Для своего варианта исходных данных:

· провести анализ парной корреляции между величиной производительности труда ( - результирующая переменная) и его фондовооруженности ( - факторная переменная);