Исходные данные для выполнения задания №1. 2 страница

Для проведения процедуры дисперсионного анализа составим вспомогательную таблицу 3.3, содержание которой понятно без дополнительных пояснений.

Таблица 3.3

Вспомогательная таблица для проведения однофакторного дисперсионного анализа

	Объемы реализации, т. руб. (j)
Способ рекламы (i)						14,8				58,8	3457,4
	14,4	207,4	14,9		14,9		15,5	240,3	59,7	3564,1	891,7
	14,2	201,6	15,2		14,6	213,2	15,4	237,2	59,4	3528,4
	14,5	210,3			14,7	216,1	15,2		59,4	3528,4	882,4
	57,1	815,3	60,1			870,3	61,1	933,5	237,3	14078,3	3522,1

С использованием данных таблицы 3.3 и соотношения: определяем выборочные дисперсии в каждой - й группе:

; ; ; .

Проверим гипотезу о равенстве дисперсий (3.4). Для этого рассчитываем критерий Кочрена:

,

и сравниваем полученное значение со значением критической границы распределения Кочрена при (четыре выборки) и при ( - объем каждой из выборок) (Приложение 5). Т. к. то гипотезу о равенстве дисперсий в генеральной совокупности можно принять и приступать к проверке основной гипотезы дисперсионного анализа (3.2). Для этого рассчитаем компоненты , , . Для упрощения вычислений формулы (3.7 – 3.9) перепишем в следующем, более удобном виде:

; (3.14)

; (3.15)

. (3.16)

С учетом формул (3.14 – 3.16) и данных таблицы 3.3 имеем:

,

,

.

Проверкой убеждаемся, что соотношения (3.6, 3.10) выполняются, следовательно, все расчеты выполнены верно. По формуле (3.11) определим расчетное значение критерия Фишера:

.

По таблице приложения 4 найдем критическую границу распределения Фишера при (3; 12) степенях свободы и уровне значимости - . Так как соотношение (3.12) не выполняется и , то можно нулевую гипотезу (3.2) принять и считать, что выбранный для анализа фактор (способ рекламы) не оказывает статистически значимого влияния на формирование значений объемов реализации товара.

В случае, когда на формирование значений результирующего признака оказывают влияние два или более факторов, процедура дисперсионного анализа для оценки степени такого влияния аналогична рассмотренной и основана на разложении суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего среднего арифметического на компоненты, отражающие влияние выбранных для анализа факторов и компоненты, отражающие влияние всех остальных, неучтенных факторов.

Рассмотрим процедуру многофакторного дисперсионного анализа на примере двухфакторного анализа. Предположим, что в статистической совокупности, рассмотренной в предыдущем примере, изменения объемов продаж товара обусловлены влиянием двух факторов: различием способов рекламы (фактор А) и различиями между продавцами этого товара (фактор В). Предположим, что по признаку А результаты наблюдений могут разбиты на групп а по признаку В на групп. Таким образом, общее количество групп равно . Далее для простоты будем считать, что в каждой группе у нас находится по одному наблюдению и, следовательно, общее число наблюдений . Тогда данные наблюдений могут быть представлены в виде таблицы 3.4.

Таблица 3.4 - Общий вид таблицы исходных данных для проведения двухфакторного дисперсионного анализа

	Группы наблюдений по фактору В,
			….
Группы наблюдений по фактору А, i =1,…m					….
				….
				….
				….

В таблице 3.4 обозначено:

; (3.17)

; (3.18)

. (3.19)

Основное тождество дисперсионного анализа в данном случае имеет вид:

. (3.20)

Введем обозначения:

; (3.21)

; (3.22)

; (3.23)

. (3.24)

Тогда выражение (3.20) можно переписать в более компактном виде:

(3.25)

В данном выражении величина представляет собой всю вариацию значений исследуемого признака, величина представляет долю вариации, обусловленную влиянием фактора А, величина представляет долю вариации, обусловленную влиянием фактора В, величина представляет долю вариации, обусловленную влиянием всех остальных неучтенных факторов.

Значимость влияния факторов А и B устанавливают рассчитывая следующие величины:

; (3.26)

. (3.27)

Величина подчиняется распределению Фишера с степенями свободы, величина подчиняется распределению Фишера с степенями свободы и, следовательно, если или больше критических границ соответствующих распределений при выбранном уровне значимости :

; (3.28)

, (3.29)

то гипотезу о равенстве центров распределений необходимо отвергнуть и считать, что соответствующий фактор значимо влияет на исследуемый признак[6].

При выполнении соотношений (3.28) или (3.29) величины:

; (3.30)

(3.31)

показывают какая доля вариации исследуемого признака объясняется влиянием соответствующего фактора.

В качестве примера решим задачу, по данным задачи предыдущего пункта считая, что вариация значений объемов продаж обусловлена влиянием двух факторов: различиями в способе рекламирования товара и различиями между продавцами. Таблица для проведения дисперсионного анализа имеет следующий вид (таблица 3.5):

Таблица 3.5 - Вспомогательная таблица для проведения двухфакторного дисперсионного анализа ( - объемы реализации, тыс. рублей/день)

	Продавцы (j) фактор В
Способ рекламы (i) фактор А						14,8				58,8	3457,4
	14,4	207,4	14,9		14,9		15,5	240,3	59,7	3564,1	891,7
	14,2	201,6	15,2		14,6	213,2	15,4	237,2	59,4	3528,4
	14,5	210,3			14,7	216,1	15,2		59,4	3528,4	882,4
	57,1		60,1				61,1		237,3
	3260,4		3612,01				3733,2			14078,3     14086,6
		815,3				870,3		933,5			3522,1

С использованием данных таблицы 3.5 и соотношения: определяем выборочные дисперсии в каждой - й группе:

, , , .

Проверим гипотезу о равенстве дисперсий в группах по фактору В. Для этого рассчитываем критерий Кочрена:

,

и сравниваем полученное значение со значением критической границы распределения Кочрена (Приложение 5). Т. к. то гипотезу о равенстве дисперсий в генеральной совокупности можно принять и приступать к проверке основной гипотезы дисперсионного анализа. Рассчитаем значения сумм , , (значений суммы было рассчитано в предыдущем примере). Для практических расчетов формулы 3.22 – 3.24 можно переписать в следующем, более удобном для расчетов, виде:

; (3.32)

; (3.33)

. (3.34)

С учетом формул (3.32 – 3.34) и данных таблицы 9 имеем:

, ,

,

Основное тождество дисперсионного анализа (3.25) выполняется, следовательно, расчеты выполнены верно. По формулам (3.26 – 2.27) рассчитаем значения критерия Фишера:

,

По таблице приложения 4 найдем критическую границу распределения Фишера при (3; 9) степенях свободы и уровне значимости - . Т.к. соотношения (3.28) не выполняется, а соотношение (3.29) выполняется, то можно считать, что фактор В значимо влияет на исследуемый признак и влиянием данного фактора объясняется (3.31) вариации исследуемого признака. Иными словами, наиболее существенное влияние на объем реализации товара оказывают индивидуальные различия между продавцами.

Варианты индивидуальных заданий к теме "Дисперсионный анализ"

Для своего варианта исходных данных об объемах продаж в пяти магазинах, расположенных в различных районах города методами дисперсионного анализа оценить влияние на объем продаж таких факторов как расположение магазина и день недели. При проверке необходимых гипотез принимать уровень значимости равным: .

Исходные данные для выполнения задания №3

Вариант №1.

Номер магазина	Объем продаж по дням недели, тыс. руб.
Пон.	Вт.	Ср.	Чт.	Пт.	Суб.	Вс.
	40,000	42,000	41,000	39,000	44,000	37,000	51,000
	35,000	46,000	50,000	39,000	46,000	48,000	34,000
	37,000	47,000	42,000	47,000	48,000	48,000	50,000
	49,000	52,000	40,000	46,000	45,000	38,000	47,000
	43,000	55,000	44,000	51,000	49,000	43,000	37,000

Вариант №2.

Номер магазина	Объем продаж по дням недели, тыс. руб.
Пон.	Вт.	Ср.	Чт.	Пт.	Суб.	Вс.
	40,000	35,000	43,000	43,000	48,000	43,000	37,000
	44,000	37,000	42,000	42,000	42,000	40,000	47,000
	35,000	46,000	48,000	48,000	47,000	44,000	47,000
	49,000	45,000	44,000	45,000	39,000	45,000	47,000
	50,000	55,000	46,000	51,000	52,000	53,000	43,000

Вариант №3.

Номер магазина	Объем продаж по дням недели, тыс. руб.
Пон.	Вт.	Ср.	Чт.	Пт.	Суб.	Вс.
	41,000	41,000	35,000	36,000	45,000	39,000	42,000
	42,000	39,000	39,000	44,000	37,000	46,000	45,000
	40,000	43,000	38,000	33,000	49,000	41,000	46,000
	47,000	46,000	41,000	41,000	44,000	40,000	41,000
	55,000	48,000	42,000	48,000	42,000	41,000	47,000

Вариант №4.

Номер магазина	Объем продаж по дням недели, тыс. руб.
Пон.	Вт.	Ср.	Чт.	Пт.	Суб.	Вс.
	45,000	41,000	43,000	34,000	38,000	39,000	34,000
	35,000	47,000	42,000	39,000	46,000	43,000	37,000
	51,000	45,000	51,000	50,000	41,000	38,000	44,000
	44,000	42,000	48,000	53,000	43,000	42,000	45,000
	51,000	44,000	42,000	47,000	48,000	50,000	45,000

Вариант №5.

Номер магазина	Объем продаж по дням недели, тыс. руб.
Пон.	Вт.	Ср.	Чт.	Пт.	Суб.	Вс.
	39,000	38,000	40,000	48,000	37,000	33,000	42,000
	37,000	42,000	39,000	45,000	45,000	41,000	32,000
	45,000	52,000	49,000	36,000	44,000	41,000	39,000
	40,000	47,000	44,000	46,000	44,000	44,000	48,000
	52,000	59,000	41,000	43,000	53,000	46,000	41,000

Вариант №6.

Номер магазина	Объем продаж по дням недели, тыс. руб.
Пон.	Вт.	Ср.	Чт.	Пт.	Суб.	Вс.
	53,000	66,000	57,000	70,000	55,000	69,000	47,000
	41,000	50,000	64,000	41,000	58,000	46,000	58,000
	43,000	55,000	34,000	49,000	59,000	51,000	66,000
	50,000	33,000	44,000	67,000	55,000	60,000	65,000
	37,000	52,000	51,000	48,000	56,000	73,000	58,000

Вариант №7.

Номер магазина	Объем продаж по дням недели, тыс. руб.
Пон.	Вт.	Ср.	Чт.	Пт.	Суб.	Вс.
	62,000	43,000	50,000	42,000	56,000	47,000	55,000
	59,000	51,000	61,000	75,000	57,000	52,000	61,000
	55,000	43,000	59,000	54,000	51,000	67,000	73,000
	51,000	57,000	48,000	63,000	32,000	66,000	58,000
	61,000	70,000	55,000	57,000	45,000	41,000	51,000

Вариант №8.