Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть имеется выборка, состоящая из n наблюдении зависимой и объясняющих переменных уi, хi1, хi2, хin, i=1,2,…,n, для которых уравнение регрессии запишется в виде системы уравнений
. (5.2)
Определим векторы-столбцы и матрицу:
, , ,
Столбец у и матрица х содержат данные выборки. В столбце b записаны неизвестные коэффициенты, которые следует оценить по имеющейся выборке, e- столбец случайных членов, которые ненаблюдаемые.
Используя эти обозначения, систему уравнений (5.2) можно записать в компактной матричной форме:
(5.3)
В модели множественной линейной регрессии метод наименьших квадратов представляет собой обобщение МНК для парной линейной регрессии. Оцененное уравнение множественной линейной регрессии
(5.4)
Запишем для всех наблюдений: ,.
Их также можно записать в матричной форме:
. (5.5)
где столбцы , .
Определим столбец отклонений фактических значений у зависимой переменной у от ее значений , вычисленных по оцененному уравнению регрессии (5.4):
, .
Метод наименьших квадратов заключается в определении коэффициентов оцененного уравнения (5.4) из условия минимума суммы квадратов отклонений: .
Пример 5.1
В 2001 г. европейское мясное лобби размышляет на тему, стоит ли оказать давление на правительства стран – членов ЕС, чтобы новые случаи заболевания губчатой энцефалопатией и болезнью Кройцфельда-Якоба не становились достоянием гласности. Безусловно, такое давление будет стоить недешево, и поэтому необходимо предварительно оценить полезность подобных действий. Оценивается зависимость уt, (доли вегетарианцев среди населения t -й страны ЕС) от x 1 t (числа ставших известными случаев инфицирования коров губчатой энцефалопатией) и x 2 t (числа ставших известными случаев заболевания людей болезнью Кройцфельда-Якоба). Исследование проводится для T =15 стран.
Результаты оценивания по МНК (в скобках даны стандартные отклонения оценок коэффициентов):
уt = 0,21 + 0,0030 x 1 t + 0,0092 x 2 t + et.
(0,045) (0,0016) (0,0050)
Т р е б у е т с я:
1) Проверить статистическую значимость коэффициентов уравнения при a = 0,05;
2) Определить, является ли константа значимо меньше 0,31;
3) Проверить совместную статистическую значимость переменных x 1 и
x 2, если сумма квадратов ошибок составляет 0,0084, а дисперсия наблюдаемой переменной у – 0,0011.
Решение
1. Для проверки статистической значимости коэффициентов модели рассчитываются значения критерия Стьюдента по следующей формуле:
.
; ; .
Табличное значение критерия Стьюдента для доверительной вероятности 95% и числа степеней свободы =15-2-1=12 равно 2.179.
Поскольку , коэффициент является статистически значимым. и , следовательно, коэффициенты и статистически незначимы.
2.Тестируется нулевая гипотеза : >0.31. Рассчитаем:
.
Поскольку , нулевая гипотеза отклоняется, т.е. коэффициент является статистически значимо меньше, чем 0.31.
1.Рассчитаем коэффициент множественной детерминации по следующей формуле:
.
Определим теперь значение критерия Фишера.
табличное значение критерия Фишера для доверительной вероятности 95% и числа степеней свободы , равно 3.89. Так как F >F*, уравнение в целом статистически значимо.
Задание 5.1. Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 12 магазинов, информация о деятельности которых представлена в таблице 5.1.
Таблица 5.1
Номер магазина | Годовой товарооборот, млн. руб. | Торговая площадь, тыс. м2 | Среднее число посетителей в день, тыс.чел. |
19,76 | 0,24 | 8,25 | |
38,09 | 0,31 | 10,24 | |
40,95 | 0,55 | 9,31 | |
41,08 | 0,48 | 11,01 | |
56,29 | 0,78 | 8,54 | |
68,51 | 0,98 | 7,51 | |
75,01 | 0,94 | 12,36 | |
89,05 | 1,21 | 10,81 | |
91,13 | 1,29 | 9,89 | |
91,26 | 1,12 | 13,72 | |
99,84 | 1,29 | 12,27 | |
108,55 | 1,49 | 13,92 |
Требуется построить диаграммы рассеяния годового товарооборота (у)в зависимости от торговой площади (x 1) и среднего числа посетителей в день (x 2) и определить форму связи между результирующим показателем (у)и каждым из факторов (x 1 и x 2).
Задание 5.2. На основании информации, приведенной в таблице 5.1 построено двухфакторное уравнение годового товарооборота в зависимости от торговой площади магазина () и среднего числа посетителей в день (), которое выглядит следующим образом:
Т р е б у е т с я:
1) Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнений регрессии.
2) На основании данных таблицы 5.1 рассчитать эмпирические коэффициенты эластичности годового товарооборота от торговой площади и от среднего числа посетителей.
3) На основании уравнений регрессии оценить частные коэффициенты эластичности годового товарооборота от торговой площади и от среднего числа посетителей.
Задание 5.3. Бюджетное обследование пяти случайно выбранных семей дали следующие результаты (млн.тенге)
семья | Накопления s | Доход у | Имущество w |
3,5 | |||
1,5 | |||
Сумма | |||
Средние | 3,8 | 47,4 |
Требуется:
a) оценить регрессию s на y и w;
б)спрогнозируйте накопление семьи, имеющей доход 40млн.т и имущество стоимостью 25 млн.т.;
в)предполагая, что доход семьи возрос на 10млн.т., в то время как стоимость имущества не изменилась. Оцените, как возрастут ее накопления;
г) оцените как возрастут накопление семьи, если ее доход вырос на 5млн.т., а стоимость имущества увеличилась на 15млн.т.;
д) найдите сумму квадратов остатков и постройте дисперсии регрессии.
Задание 5.4. В следующей таблице приведены данные о ВВП, инвестициях и потреблении в млрд. долл. в некоторой стране за 5 лет. Сформулируйте модель множественной линейной регрессии зависимости ВВП от инвестиций и потребителя с постоянным членом и без него. Для обоих случаев составьте матрицу значений объясняющих переменных х и вектор значений зависимой переменной у. Оцените модели по методу наименьших квадратов.
ВВП | |||||
Инвестиции | |||||
Потребление |
Задание 5.5. По данным предыдущей задачи вычислите стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии и проверьте гипотезы о значимости коэффициентов.
Задание 5.6 По данным задачи 5.4 сделайте прогноз ВВП, постройте 95-процентный доверительный интервал для ожидаемого и индивидуального значений ВВП, если предполагается, что в следующем году инвестиции будут равны 5 млрд. долл., а потребление равно 9 млрд. долл.
Задание 5.7. Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (x1) и дохода домохозяйства (х2). Соответствующая информация представлена в таблице 5.2.
Таблица 5.2
yt | 31,4 | 30,4 | 32,1 | 31,0 | 30,5 | 29,8 | 31,1 | 31,7 | 30,7 | 29,7 |
x 1 t | 4,1 | 4,2 | 4,0 | 4,6 | 4,0 | 5,0 | 3,9 | 4,4 | 4,5 | 4,8 |
x 2 t |
Т р е б у е т с я:
1)Оценить с помощью МНК параметры линейного двухфакторного уравнения уt = a0 + a1 x 1 t + a2 x 2 + e t и интерпретировать оценки;
2) Оценить дисперсию ошибки ;
3) Рассчитать оценку математического ожидания при x 1 = 5,5 и х 2=980.
Задание 5.8. Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х1) и дохода домохозяйства (х2). Соответствующая информация представлена в таблице 5.2. (см. задание 5.7).
Т р е б у е т с я:
Построить однофакторные уравнения спроса у от цены (х 1) иот дохода (х 2). Оценить с помощью МНК параметры этих уравнений;
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 1060 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!