Екстраполяція на основі аналітичних показників рядів динаміки

Динамічним рядом (рядом динаміки) називається послідовність показників, які характеризують зміну явища (процесу, об'єкта) у часі. Окремі спостереження динамічного ряду називаються рівня­ми.

За часом, відображеним у динамічних рядах, вони поділяються на моментні й інтервальні.

В моментних рядах динаміки рівні виражають величину явища на відповідну дату, наприклад, залишки готової продукції на пер­ше число кожного місяця, вартість основних фондів на початок, чи кінець року та ін.

В інтервальних рядах рівні виражають розміри явищ за про­міжок часу, наприклад, випуск продукції за місяць, квартал, рік.

При побудові динамічних рядів слід в першу чергу приділити увагу на порівнянність рівнів ряду. Це значить, що усі рівні повинні виражатися в однакових одиницях виміру, розраховуватися по єдиній методології, включати єдине коло об'єктів.

Позначимо:

у_l — початкове значення рівня динамічного ряду;

у_п — кінцеве значення рівня динамічного ряду;

у_i — умовно прийнятий (i -й) рівень динамічного ряду;

п — кількість елементів динамічного ряду.

Наведемо основні аналітичні показники динамічного ряду, які використовуються у прогнозуванні:

а) абсолютний приріст:

1) ланцюговий

(3.4)

2) базисний

(3.5)

б) середній абсолютний приріст

(3.6)

в) коефіцієнт росту:

1) ланцюговий

(3.7)

2) базисний

(3.8)

3) за весь період

(3.9)

г) коефіцієнт приросту

K_np= k_p- 1; (3.10)

д) середній коефіцієнт росту

(3.11)

е) середній коефіцієнт приросту

(3.12)

ж) абсолютний розмір 1% приросту:

1) ланцюговий

(3.13)

2) за весь період

(3.14)

з) коефіцієнт випередження (відставання)

(3.15)

Добуток ланцюгових коефіцієнтів росту дорівнює базисному коефіцієнту росту за весь період, тобто

(3.16)

що може бути доведено таким чином.

Нехай маємо динамічний ряд за 5 років та рівень показника за базисний рік, що передує рокам п'ятирічки (у ₀). Добуток ланцюго­вих коефіцієнтів росту складе

тобто підтверджується залежність (3.16)

На основі наведених аналітичних показників, які широко застосовуються для оцінки динамічних рядів, можна вивести залежності, що можуть бути використані для побудови прогнозів:

(3.17)

(3.18)

(3.19)

(3.20)

де — тут і далі таким чином позначаються прогнозні значення показника.

Т — величина горизонту прогнозу (Т = 1; 2; 3...)

Практичне застосування зазначених залежностей покажемо на прикладах.

Приклад 1.

В таблиці 3.1 наведені дані про середнє споживання кондитерських виробів на одну людину по області за рік. Використовуючи рівняння (3.18; 3.20), побудуємо прогноз споживання кондитерських виробів на наступну п'ятирічку.

Таблиця 3.1 – Середньорічне споживання кондитерських виробів по області

Номер року, t	Споживання кондитерських виробів на одну людину в рік, кг.	Номер року, t.	Споживання кондитерських виробів на одну людину в рік, кг.
1	2	3	4
	10,7		15,9
	11,5		17,2
	12,2		18,1
	13,4		19,8
	15,0		21,2
	15,0

У табл. 3.1 наведені дані по двох п'ятирічках та базисному року.

Остаточно про якість прогнозу можна судити лише після того, як подія відбулася. Щоб оцінити надійність застосованого методу, використовуються так званий метод «прогноз екс-пост». Такий підхід застосовується і для інших кількісних методів прогнозування.

Використовуючи дані перших шести років — базисний рік та роки першої п'ятирічки, розрахуємо відповідно:

Середній абсолютний приріст

Середньорічний коефіцієнт росту

На основі залежності (3.18) складемо прогноз споживання кон­дитерських виробів на період .

Результати розрахунків зведені в таблицю та порівняні з фактичними даними.

Складемо прогноз споживання кондитерських виробів на основі формули (3.20)

Результати прогнозу порівняні із фактичними даними та оцінена якість прогнозу (таблиця 3.3)

Таблиця 3.2 – Оцінка якості прогнозу, складеного на основі середнього абсолютного приросту

№	Фактичне значення, кг	Прогнозоване значення, кг	Відхилення
Абсолютне (гр2-гр3), кг	Відносне (гр4:гр2)100%
1	2	3	4	5
	15,9	15,9
	17,2	16,8	0,4	2,3
	18,1	17,7	0,4	2,2
	19,8	18,6	1,2	6,1
	21,2	19,5	1,7
	Середнє значення	—	0,7	3,7

Таблиця 3.3 – Оцінка якості прогнозу, складеного на основі середньорічного коефіцієнта росту

№	Фактичне значення, кг	Прогнозоване значення, кг	Відхилення
Абсолютне (гр2-гр3), кг	Відносне (гр4:гр2)100%
1	2	3	4	5
	15,9		-0,1	-0,6
	17,2	17,2
	18,2	18,4	-0,3	-1,7
	19,8	19,7	0,1	0,5
	21,2		0,2	0,9
	Середнє значення	—	0,1	0,7

Порівнюючи результати прогнозів, поданих в таблиці 3.2 та таблиці 3.3, можна зробити висновок про те, що використання середньорічного коефіцієнта росту забезпечує більш високу точність прогнозу, про що свідчать відхилення за всі роки і в цілому за п'ятиріччя.

Для складання прогнозу за межі наявних даних, тобто на пер­спективу, розрахуємо середньорічний коефіцієнт росту на основі другої п'ятирічки з використанням базисного періоду

Прогноз споживання кондитерських виробів на наступне п'ятиріччя складе:

Прогноз споживання кондитерських виробів складено з урахуванням зберігання тенденцій, які склалися в «передісторії».

Суттєвим недоліком показників середнього абсолютного приросту та середнього коефіцієнта росту є те, що значення їх цілком залежить тільки від крайніх рівнів динамічного ряду. Проміжні значення, які багато в чому, а іноді і в вирішальній мірі визначають тенденцію змін показників, по суті в розрахунках не беруть участі. Зазначений недолік багато в чому усувається шляхом аналітичного вирівнювання рядів динаміки, що буде розглянуто у наступному параграфі.

Приклад 2.

В управлінні бурякоцукровим виробництвом дуже важлива об'єктивна оцінка очікуваних урожайності та цукристості буряка, на основі яких визначається валовий збір буряка та обсяг виготовленого цукру. Першочергове значення мають короткострокові прогнози показників, що орієнтовані на поточний виробничий рік, який охоплює приблизно період вересень-січень.

В основу розрахунків середньої урожайності буряка та середньої цукристості заготовленого буряка покладені значення вказа­них показників за станом на перше жовтня.

Для одержання названих показників у агропромисловому ком­плексі щодекадно робляться оцінки маси кореня (з 1 липня по 1 жовтня) та цукристості буряка (з 20 липня по 1 жовтня). Задача полягає у тому, щоб на основі одержаних даних, оцінити значення Цих показників за станом на 1 жовтня.

З множини методів, які рекомендовані для оцінки значення вка­заних показників на 1 жовтня, найбільш простий та доступний — це використання значень приросту буряка за декади. Для розрахунку приросту використовуються середні значення маси кореня на кожну декаду, яка визначається за формулою:

(3.21)

де — середнє значення маси кореня на і -у декаду;

P_ij — маса кореня в i -у декаду j -го року;

s_j — площа посіву j -го року;

m_j — густота насадження коренеплодів по стану на 20 серпня j -го року.

Прирости розраховуються за формулою (3.4), тобто:

В таблиці 3.4 наведені дані про абсолютні прирости маси кореня, які розраховані на основі середніх значень маси кореня за 10 років.

Таблиця 3.4 – Абсолютні прирости маси кореня (г) по Волинському облбурякоцукропромі

Отримавши дані про масу кореня станом на 1.07, можна, використовуючи показники таблиці 3.4, визначити очікуване значення названого показника станом на 1.10

(3.22)

Якщо поступає інформація за наступні декади, то розрахунки виконуються таким чином:

і т.д.

Припустимо, за станом на 1.07 поточного року маса кореня ста­новила 25г. Тоді очікувана маса кореня за станом на 1.10 становить

В таблиці 3.5 наведені результати послідовних прогнозів на ос­нові застосування абсолютних приростів.

Таблиця 3.5 – Результати прогнозу маси кореня по Волинському облбурякоцукропромі

За станом на:	Маса кореня, г.
1.07	10.07	20.07	1.08	10.08	20.08	1.09	10.09	20.09	1. 10
1.07		64
10.07			110
20.07				165
1.08					216
10.08						262
20.08							300
1.09								330
10.09									360
20.09										376
1.10

Примітка:Над рискою таблиці 3.5 подані прогнозовані значення, під рискою — фактичні.

Результати прогнозу достатньо точні. Враховуючи, що фактичне значення маси кореня за станом на 1.10 дорівнює 376 г, то розходження по той, чи інший бік становило від 376 - 382 = -6 г, або 1,6%, до 376 - 367 = 9 г, або 2,4%.

За таким ж самим методом прогнозується цукристість буряка.

Слід відмітити, що прогнозування найважливіших показників буряко-цукрового виробництва було реалізовано на ЕОМ і функціонувало у реальному режимі часу для Волинського облбурякоцукропрому і Укрбурякоцукропрому протягом тривалого часу.