Формула Бернулли

Пусть производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может произойти отдельное событие A – успех или может наступить противоположное событие – неудача. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одинакова. Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли.

Предположим, вероятность наступления события А равна р. Тогда вероятность q того, что событие не наступит для всех испытаний также одинакова и q = 1 – p.

Для нахождения вероятности того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно m раз и, следовательно, не осуществится n – m раз, следует воспользоваться формулой Бернулли

.

Пример 4.1. Монета подбрасывается 5 раз. Определить вероятность, что: а) герб появится три раза, б) менее трех раз, в) более двух раз.

Решение. Считая вероятности выпадения герба во всех пяти испытаниях постоянной и равной 1/2, имеем р = 1/2, q = 1/2, n = 5. Заметим, что условие менее трех 3 раз это событие, что герб появится или 0 раз, или 1, или 2 раза. Условие более двух раз это событие, что герб появится 3, или 4, или 5 раз, причем эти события являются противоположными событиями.

а) Р ₅(m = 3) = ·( ³·( ² = 0,3125

б) Р ₅(m < 3) = Р ₅(0) + Р ₅(1)+ Р ₅(2) = ( ⁵ + ·( ·( ⁴ + ·( ²·( ³ = + + = = 0,5

в) Р ₅(m ≥ 2) = 1– Р ₅(m < 3) = 1– 0,5 = 0,5

Пример 4.3. Вероятность сразу найти необходимую информацию на поисковой системе Яндекс, равна 0,9. К поисковой системе обращаются 10 раз. Найти вероятность того, что информация сразу получена ровно 7 раз.

Решение. Считая вероятность получения необходимой информации на Яндекс одинаковой во всех 10 попытках, причем результаты поиска не зависят друг от друга, имеем схему испытаний Бернулли с параметрами р = 0,9, q = 0,1, n = 10, m = 7. Тогда по формуле Бернулли

Пример 4.4. Через 10 лет после окончания школы, школьные друзья решили организовать встречу одноклассников. Вероятность найти одноклассника в социальных сетях составляет 0,1. Сделано 5 попыток. Найти вероятности следующих событий: ровно две попытки оказались удачными, т.е. два одноклассника найдены; большая часть попыток удачны; найдены хотя бы два одноклассника.

Решение. Считая результаты поиска одноклассников независимыми событиями и вероятность найти одноклассника одинаковой во всех пяти попытках, применим формулу Бернулли при р = 0,1, q = 0,9, n = 5.

Условие, что два одноклассника найдены, означает, что m = 2

Условие, что найдена большая часть одноклассников, означает, что m = 3, 4 или 5

Условие, что найдены хотя бы два одноклассника, означает, что m больше, либо равно 2, т.е. m = 2, 3, 4 или 5. Но это событие является противоположным событию, что найден 0, или 1 одноклассник. Поэтому