Определение вероятности

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Определение. Если результаты испытаний можно представить в виде полной группы n равновозможных попарно несовместных исходов и если случайное событий A появляется тольков m исходах, то вероятность события A определяется как отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события A, к общему числу n равновозможных исходов

P (A) = m/n.

Пример 2.1. В фирме 16 человек имеют высшее образование, 3 человека – незаконченное высшее, 9 человек – среднее специальное образование, 8 человек – среднее. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный сотрудник имеет незаконченное высшее образование.

Решение. По правилу сложения сотрудник может быть выбран 16 + 3 + 9 + 8 = 36 способами, т.е. общее число возможных исходов равно 36. Число благоприятствующих исходов равно количеству человек с незаконченным высшим образованием. Исходы равновозможные, несовместные и образуют полную группу, поэтому

Р = = = ≈ 0,08.

Пример 2.2. Для участия в студенческой научной конференции 7 студентам предложили выбрать любую из 10 тем по высшей математике. Чему равна вероятность, того что случайно выбранному студенту достанется тема под четным номером.

Решение. Первый студент может выбрать любую из 10 тем, второй студент может выбрать любую из оставшихся 8 тем, третий студент может выбрать любую из оставшихся 7 тем и т.д. По правилу умножения общее число возможных вариантов выбора тем студентами равно 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 40320, т.е. n = 40320. Так как произвольно выбранному студенту может достаться любая из тем 2, 4, 6, 8, 10, то число благоприятствующих исходов равно 5, т.е. m = 5, тогда та как исходы равновозможные, несовместные и образуют полную группу

Р = = ≈ 0,00012.

Пример 2.5. У 15 школьников из 20 сотовый телефон фирмы Nokia. Найти вероятность того, что у произвольно выбранного школьника телефон фирмы Nokia.

Решение. Так как школьник выбирается произвольно, то исходы – выбран произвольный школьник из 20 – равновозможные, несовместные и образуют полную группу событий. Тогда, очевидно, что m = 15, n = 20

Р = = .

Пример 2.6. В условиях примера 2.3 найти вероятность того, что 3 произвольно выбранных школьника являются обладателями телефонов Nokia.

Решение. В этом случае число благоприятных исходов равно количеству подмножеств по 3 элемента из 15, т.е. m = = = 455. Число всевозможных исходов равно количеству подмножеств по 3 элемента из 20, т.е.

n = = = = 1140, следовательно,

Р = = = ≈ 0,4.

Пример 2.7. Еще более усложним условие задачи 2.3,предположив, что необходимо найти вероятность того, что 3 школьника из случайно выбранных 5 являются обладателями телефонов Nokia.

Решение. Легко видеть, что n = . Так как у троих школьников из 5 должны быть телефоны фирмы Nokia, а у двоих – телефоны не фирмы Nokia, то m = тогда

Р = .

Пример 2.8. Расписание студентов математического факультета в понедельник должно состоять из 3 пар. Занятия могут быть проведены по любым из 12 дисциплин и не должно быть пар по одной дисциплине. Определить вероятность того, что расписание будет иметь вид:

1-я пара – «Теория вероятностей и математическая статистика»;

2-я пара – «Математический анализ»;

3-я пара – «Иностранный язык».

Решение. Так как при составлении расписания учитывается как состав дисциплин, так и их порядок, возможные расписания являются размещениями из 18 по 3. Поэтому общее число возможных расписаний равно

n = = = 12 · 11 · 10 = 1320.

Общее число благоприятных исходов m = 1.Так как все исходы – равновозможные, несовместные и образуют полную группу, то

Р = = ≈ 0,00075

Пример 2.9. Код кредитной банковской карты состоит из 7 символов, первые 2 символа – буквенные, остальные цифровые. Последние 3 цифры были забыты пользователем. Какова вероятность того, что выбранные случайным образом цифры восстановят код, если все забытые цифры различные?

Решение. Общее число возможных комбинаций соответствует размещениям из 10 цифр по 3, т.е.

720.

Число благоприятных исходов m = 1. Так как все исходы – равновозможные, несовместные и образуют полную группу

Р = = ≈ 0,0014.