Та їх систем

8.1 Визначити область визначення функції .

Розв’язання

Область визначення функції утворюють ті значення , при яких вираз приймає невід’ємні значення. Отже, необхідно розв’язати нерівність . Отримаємо: ; .

Областю визначення функції є проміжок .

Відповідь: .

8.2 Сторона трикутника 12см. Якою може бути висота трикутника, проведена до цієї сторони, якщо його площа менше площі прямокутника зі сторонами 7см і 9см?

Розв’язання

1. Площа прямокутника зі сторонами 7см і 9см дорівнює 63см², тому що .

2. Нехай висота трикутника, проведена до відомої сторони, дорівнює см. Тоді площа трикутника дорівнює см. За умовою задачі площа трикутника менше площі прямокутника, а величина висоти трикутника може бути лише додатним числом. Тому складемо систему лінійних нерівностей:

Відповідь: величина висоти трикутника менше 10,5см.

8.3 Одна господиня купила на базарі 10 кг помідорів і заплатила за них більше 18 грн. Друга господиня купила такі ж помідори і заплатила за 5 кг менше 14 грн. За якою ціною господині купували помідори?

Розв’язання

Нехай ціна 1 кг помідорів грн., тоді 10 кг коштують грн., що за умовою задачі більше 18грн., тобто . 5 кг помідорів коштують грн., що за умовою задачі менше 14грн., тобто . Для того, щоб розв’язати задачу, необхідно знайти ті значення , при яких будуть правильними нерівності і .

Складемо систему нерівностей:

Відповідь: ціна 1кг помідорів більше 1грн.80коп., але менше 2грн.80коп.

8.4 Розв’язати нерівність з параметром .

Розв’язання

Розглянемо три випадки:

1) якщо , тобто . Розділивши обидві частини нерівності на від’ємне число , отримаємо: ;

2) якщо , тобто . Отримаємо нерівність , розв’язком якої є будь-яке число;

3) якщо , тобто . Тоді .

Відповідь: якщо , то ; якщо , то розв’язком нерівності є будь-яке число; якщо , то .

8.5 Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Дріб приймає додатні значення лише тоді, коли його чисельник і знаменник додатні або коли вони обидва від’ємні. Тому розв’язок даної нерівності зводиться до розв’язку двох систем нерівностей:

Відповідь: .

8.6 Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Дріб приймає від’ємні значення лише тоді, коли його чисельник і знаменник різних знаків; дріб дорівнює нулю лише за умови, що чисельник дорівнює нулю. Тому розв’язок даної нерівності зводиться до розв’язку сукупності двох систем нерівностей:

Відповідь: .

8.7 Довести нерівність .

Доведення

Оскільки і є взаємно оберненими додатними виразами, причому , то за нерівністю (яку доведено раніше) маємо:

Отже, нерівність доведено.