Числові проміжки

4.1 Числова пряма (або вісь) – це пряма, на якій вибрані початок відліку, додатний напрямок і одиниця масштабу.

4.2 Уявлення про числовий проміжок

Множина всіх чисел, що задовольняють нерівності або , або , або , або та , називають числовим проміжком.

4.3 Види числових проміжків

Нерівність	Зображення	Позначення	Словесне формулювання
			закритий проміжок (відрізок) із кінцями а і b
			відкритий проміжок (інтервал) із кінцями а і b
			напіввідкритий проміжок (півінтервал) із кінцями а і b
			нескінченний проміжок (промінь)
		или R	Множина всіх дійсних чисел, числова пряма

4.4 Переріз числових проміжків

Числовий проміжок, який є спільною частиною двох (або більше) числових проміжків, називається їх перерізом.

Розв’язок системи нерівностей – це переріз розв’язків кожної з нерівностей системи.

Перерізом двох числових проміжків можуть бути і не числові проміжки. Розглянемо, наприклад, проміжки і . Чисел, що належать обом поданим проміжкам, немає. Тому говорять, що перетином цих двох проміжків є порожня множина. Її позначають символом .

Приклади

1) Перерізом проміжків і є проміжок - їх спільна частина. Записують: .

2) Перерізом проміжків і є порожня множина. Записують: .

4.5 Об’єднання числових проміжків

Числовий проміжок, який складається з чисел, що належать хоча б одному з поданих проміжків, називається об’єднанням цих проміжків.

Щоб знайти розв’язок сукупності нерівностей з однією змінною, необхідно знайти об’єднання розв’язків усіх нерівностей сукупності.

Приклади

1) Об’єднанням проміжків і є проміжок . Записують: .

2) Об’єднанням проміжків і є ці два проміжки.

	Означення	Приклади
5. Рівносильні нерівності
5.1	Дві нерівності називаються рівносильними на деякій множині, якщо на цій множині вони мають одні й ті самі розв’язки, тобто будь-який розв’язок однієї з нерівностей є розв’язком другої нерівності, і навпаки.	і ; і ; і
5.2	Теореми про рівносильність перетворень нерівностей   1. Якщо виконати тотожні перетворення деякої частини нерівності, які не змінюють допустимі значення змінної, то дістанемо нерівність, рівносильну поданій.   2. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданки з протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну поданій.   3. Якщо обидві частини нерівності поділити або помножити на одне й те саме додатне (від’ємне) число, не змінивши (змінивши) знака нерівності, то дістанемо нерівність, рівносильну поданій.	Покажемо приклади використанні теорем про рівносильність при розв’язуванні нерівностей.   1. Розв’язати нерівність .   Розв’язання Відповідь: .   2. Розв’язати нерівність .   Розв’язання Відповідь: .
	Означення	Приклади
6. Лінійна нерівність з однією змінною
6.1	Лінійною нерівність з однією змінною називається нерівність виду ().
6.2	Схема розв’язання лінійної нерівності   , тоді	1) Розв’язати нерівність .   Розв’язання Відповідь: 2) Розв’язати нерівність .   Розв’язання Виконаємо тотожні перетворення обох частин нерівності. Дістанемо нерівність, рівносильну поданій: . Використавши теореми про рівносильність, запишемо рівно-сильну нерівність та розв’яжемо її за схемою: Відповідь:
6.3	Розв’язування лінійних нерівностей 1) Якщо нерівність містить дроби, необхідно обидві частини нерівності помножити на НСК їх знаменників. 2) Якщо в нерівності є дужки, розкриваємо їх. 3) Переносимо доданки, що містять змінну, в одну частину нерівності (як правило, в ліву), а доданки, що не містять змінної, - в іншу частину (як правило, в праву). 4) Зводимо подібні доданки. 5) Якщо отримали лінійну нерівність і коефіцієнт при змінній не дорівнює нулю, то ділимо на нього обидві частини нерівності. 6) Якщо коефіцієнт при змінній дорівнює нулю, то нерівність або не має розв’язків, або її розв’язком є будь-яке число.	Розв’язати нерівність . Розв’язання Помножимо обидві частини нерівності на НСК(6;9)=18. Оскільки множимо обидві частини нерівності на додатне число, то знак нерівності не змінюється.   Відповідь:
6.4	Розв’язування систем нерівностей з однією змінною   Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називається значення змінної, при якому виконується кожна з нерівностей системи.   Розв’язати систему нерівностей – означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.   До систем нерівностей зводиться розв’язування подвійних нерівно-стей.   Схема розв’язання системи нерівностей 1) Шляхом виконання рівносильних перетворень кожну нерівність системи привести до виду лінійної нерівності з однією змінною.   2) Знайти розв’язок кожної з нерівностей.   3) Знайти переріз проміжків, що є розв’язками нерівностей системи.   4) Записати відповідь.	1. Розв’язати систему нерівностей .   Розв’язання Відповідь:   2. Розв’язати подвійну нерівність .   Розв’язання   Відповідь:
6.5	Схема розв’язання сукупностей нерівностей з однією змінною   1) Шляхом виконання рівносильних перетворень кожну нерівність сукупності звести до виду лінійної нерівності з однією змінною.   2) Знайти розв’язок кожної нерівності сукупності.   3) Знайти об’єднання проміжків, які є розв’язками кожної з нерівностей сукупності.   4) Записати відповідь.	Розв’язати сукупність нерівностей .   Розв’язання .   Відповідь:
6.6	Розв’язування нерівностей з модулем   1. Нерівність виду     2. Нерівність виду	1. Розв’язати нерівність . Розв’язання Виходячи з геометричного змісту модуля, замінимо нерівність рівносильною їй системою нерівностей: Відповідь:   2. Розв’язати нерівність . Розв’язання Оскільки , то нерівність не має розв’язків. Відповідь: розв’язків немає.   3. Розв’язати нерівність .   Розв’язання   Виходячи з геометричного змісту модуля, замінимо нерівність рівносильною сукупністю нерівно-стей: Відповідь:     4. Розв’язати нерівність .   Розв’язання Виходячи зі схеми, маємо: , звідки . Відповідь: