Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Числові проміжки



4.1 Числова пряма (або вісь) – це пряма, на якій вибрані початок відліку, додатний напрямок і одиниця масштабу.

4.2 Уявлення про числовий проміжок

Множина всіх чисел, що задовольняють нерівності або , або , або , або та , називають числовим проміжком.

4.3 Види числових проміжків

Нерівність Зображення Позначення Словесне формулювання
  закритий проміжок (відрізок) із кінцями а і b
  відкритий проміжок (інтервал) із кінцями а і b
    напіввідкритий проміжок (півінтервал) із кінцями а і b
нескінченний проміжок (промінь)
 
 
 
или R Множина всіх дійсних чисел, числова пряма

4.4 Переріз числових проміжків

Числовий проміжок, який є спільною частиною двох (або більше) числових проміжків, називається їх перерізом.

Розв’язок системи нерівностей – це переріз розв’язків кожної з нерівностей системи.

Перерізом двох числових проміжків можуть бути і не числові проміжки. Розглянемо, наприклад, проміжки і . Чисел, що належать обом поданим проміжкам, немає. Тому говорять, що перетином цих двох проміжків є порожня множина. Її позначають символом .

Приклади

1) Перерізом проміжків і є проміжок - їх спільна частина. Записують: .

2) Перерізом проміжків і є порожня множина. Записують: .

4.5 Об’єднання числових проміжків

Числовий проміжок, який складається з чисел, що належать хоча б одному з поданих проміжків, називається об’єднанням цих проміжків.

Щоб знайти розв’язок сукупності нерівностей з однією змінною, необхідно знайти об’єднання розв’язків усіх нерівностей сукупності.

Приклади

1) Об’єднанням проміжків і є проміжок . Записують: .

2) Об’єднанням проміжків і є ці два проміжки.

  Означення Приклади
5. Рівносильні нерівності  
5.1   Дві нерівності називаються рівносильними на деякій множині, якщо на цій множині вони мають одні й ті самі розв’язки, тобто будь-який розв’язок однієї з нерівностей є розв’язком другої нерівності, і навпаки.     і ; і ; і
5.2   Теореми про рівносильність перетворень нерівностей   1. Якщо виконати тотожні перетворення деякої частини нерівності, які не змінюють допустимі значення змінної, то дістанемо нерівність, рівносильну поданій.   2. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданки з протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну поданій.   3. Якщо обидві частини нерівності поділити або помножити на одне й те саме додатне (від’ємне) число, не змінивши (змінивши) знака нерівності, то дістанемо нерівність, рівносильну поданій.     Покажемо приклади використанні теорем про рівносильність при розв’язуванні нерівностей.   1. Розв’язати нерівність .   Розв’язання Відповідь: .   2. Розв’язати нерівність .   Розв’язання Відповідь: .
  Означення Приклади
6. Лінійна нерівність з однією змінною  
6.1   Лінійною нерівність з однією змінною називається нерівність виду ().    
6.2   Схема розв’язання лінійної нерівності   , тоді     1) Розв’язати нерівність .   Розв’язання Відповідь: 2) Розв’язати нерівність .   Розв’язання Виконаємо тотожні перетворення обох частин нерівності. Дістанемо нерівність, рівносильну поданій: . Використавши теореми про рівносильність, запишемо рівно-сильну нерівність та розв’яжемо її за схемою: Відповідь:    
6.3   Розв’язування лінійних нерівностей 1) Якщо нерівність містить дроби, необхідно обидві частини нерівності помножити на НСК їх знаменників. 2) Якщо в нерівності є дужки, розкриваємо їх. 3) Переносимо доданки, що містять змінну, в одну частину нерівності (як правило, в ліву), а доданки, що не містять змінної, - в іншу частину (як правило, в праву). 4) Зводимо подібні доданки. 5) Якщо отримали лінійну нерівність і коефіцієнт при змінній не дорівнює нулю, то ділимо на нього обидві частини нерівності. 6) Якщо коефіцієнт при змінній дорівнює нулю, то нерівність або не має розв’язків, або її розв’язком є будь-яке число.     Розв’язати нерівність . Розв’язання Помножимо обидві частини нерівності на НСК(6;9)=18. Оскільки множимо обидві частини нерівності на додатне число, то знак нерівності не змінюється.   Відповідь:
6.4   Розв’язування систем нерівностей з однією змінною   Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називається значення змінної, при якому виконується кожна з нерівностей системи.   Розв’язати систему нерівностей – означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.   До систем нерівностей зводиться розв’язування подвійних нерівно-стей.   Схема розв’язання системи нерівностей 1) Шляхом виконання рівносильних перетворень кожну нерівність системи привести до виду лінійної нерівності з однією змінною.   2) Знайти розв’язок кожної з нерівностей.   3) Знайти переріз проміжків, що є розв’язками нерівностей системи.   4) Записати відповідь.     1. Розв’язати систему нерівностей .   Розв’язання Відповідь:   2. Розв’язати подвійну нерівність .   Розв’язання   Відповідь:  
6.5   Схема розв’язання сукупностей нерівностей з однією змінною   1) Шляхом виконання рівносильних перетворень кожну нерівність сукупності звести до виду лінійної нерівності з однією змінною.   2) Знайти розв’язок кожної нерівності сукупності.   3) Знайти об’єднання проміжків, які є розв’язками кожної з нерівностей сукупності.   4) Записати відповідь.     Розв’язати сукупність нерівностей .   Розв’язання .   Відповідь:
6.6   Розв’язування нерівностей з модулем   1. Нерівність виду     2. Нерівність виду       1. Розв’язати нерівність . Розв’язання Виходячи з геометричного змісту модуля, замінимо нерівність рівносильною їй системою нерівностей: Відповідь:   2. Розв’язати нерівність . Розв’язання Оскільки , то нерівність не має розв’язків. Відповідь: розв’язків немає.   3. Розв’язати нерівність .   Розв’язання   Виходячи з геометричного змісту модуля, замінимо нерівність рівносильною сукупністю нерівно-стей: Відповідь:     4. Розв’язати нерівність .   Розв’язання Виходячи зі схеми, маємо: , звідки . Відповідь:  
         




Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 2265 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...