Софизмы и парадоксы

Термин «софизм» происходит от греческого слова «sophisma», что означает «хитрость». Софизм – это умышленно ошибочное рассуждение, которое выдается за истинное. Чаще всего софизмы являются следствием преднамеренно неправильного подбора исходных положений, двусмысленности слов или подмены понятий.

Известны многие софизмы, дошедшие до нас еще со времен Аристотеля. Например, софизм «Рогатый»: «То, чего ты не терял, ты имеешь. Ты не терял рога. Следовательно, ты имеешь рога». В данном силлогизме средний термин «не потерял» употреблен в двойном значении: в первой посылке – в значении неутраты того, чем обладаешь; во второй посылке – в значении неутраты того, чем не обладал вообще. Следовательно, здесь имеет место логическая ошибка – «учетверение терминов», и поэтому достоверного заключения сделать нельзя.

В процессе доказательства и опровержения возможны особого рода противоречия, которые называются парадоксами.

Парадокс – это рассуждение, приводящее к взаимоисключающим результатам, которые в равной мере доказуемы и которые нельзя отнести ни к числу истинных, ни к числу ложных.

Одним из древних парадоксов является парадокс «Лжец». Суть его заключается в следующем: Некто говорит: «Я лгу!» Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и, следовательно, он не лжет. Если же он при этом не лжет, то сказанное им есть истина, и, следовательно, он лжет. В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет одновременно.

Известны и другие парадоксы: «куча», «лысый», «каталог всех нормальных каталогов», «мэр города» и др. Парадоксы «каталог всех нормальных каталогов», «мэр города», «брадобрей» являются примерами парадокса множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента), открытого Бертраном Расселом.

Суть парадокса «мэр города» состоит в следующем: каждый мэр города живет или в своем городе, или вне его. Был издан приказ о выделении одного специального города, где бы жили только мэры, не живущие в своем городе. Где должен жить мэр этого специального города? Если он хочет жить в своем городе, то он не может этого сделать, так как там живут только мэры, не живущие в своем городе: если же он не хочет жить в своем городе, то, как и все мэры, не живущие в своих городах, он должен жить в отведенном городе, т. е. в своем. Итак, он не может жить ни в своем городе, ни вне его.

Парадоксу «мэр города» аналогичен парадокс «брадобрей». Согласно ему, каждый солдат может брить себя сам или бриться у другого солдата. Был издан приказ о выделении одного специального солдата-брадобрея, у которого брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот специально выделенный солдат-брадобрей? Если он хочет брить себя сам, то он не может этого сделать, так как он может брить только тех солдат, которые себя не бреют; если же он не будет брить себя, то должен бриться у специального солдата-брадобрея, т. е. у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя.

Долгое время парадоксы не подвергались серьезному теоретическому исследованию. Лишь на рубеже XIX–XX вв., когда обнаружились противоречия в основаниях математики, к ним было обращено внимание специалистов в области логики и математики. Был осознан факт вероятности противоречий в научных теориях, а также необходимости их преодоления путем прояснения логических основ теории, уточнения понятий и т. д.

Проблема парадоксов и способов их устранения положила основание появлению и развитию различных научных дисциплин: математической логики, логической семантики и др. Объяснению парадоксов посвящены многие исследования. Однако, хотя в настоящее время предложено много вариантов решений этой проблемы, ни один из них не является общепризнанным.