Релятивистская механика. Механика жидкости и газа

Примеры решения задач

14. Плотность покоящегося в K ′-системе отсчета однородного тела в движущейся K -системе отсчета возрастает на 10 %. Определить скорость движения тела и изменение массы тела относительно K ′– системы отсчета.

Дано:	Решение Плотность однородного тела в K’ – системе отсчета имеет вид: , (1) где m 0 – масса покоя тела; V 0 – объем тела в K – системе отсчета. Как известно, в движущей K ′ – системе отсчета масса m того же тела определяется выражением
а) –? б)

, (2)

где – скорость тела относительно K ′-системы отсчета; c – скорость света в вакууме. Явление лоренцева сокращения для объема V тела в K ′-системы отсчета дает выражение

(3)

Из соотношений (1) – (3) и условия задачи для скорости тела в K ′ – системе отсчета следует уравнение

(4)

Отсюда для скорости тела получается

м/с.

Из выражения (2) для изменения массы тела вытекает

%

Ответ: = 0,90∙10⁸ м/с; = 0,049.

15. Шприц, используемый для промывки и смазки шарнирных соединений автомобиля, заполнен керосином плотностью ρ = 0,80 г/см³. Радиус поршня шприца R = 2,0 см, ход поршня l = 25 см, радиус выходного отверстия r = 2,0 мм. Определить скорость вытекания керосина из шприца, время τ, за которое будет выдавлен весь керосин из шприца, если давить на поршень с постоянной силой F = 5,0 Н. Вязкостью керосина, трением поршня о стенки пренебречь.

Дано: ρ = 0,80 г/см3 = = 0,80 кг/см3 R = 2,0 см = = 2,0 м l = 25 см r = 2,0 мм = = 2,0 м F = 5,0 Н	Решение Движение керосина по шрицу соответствует течению идеальной жидкости по двум соединенным цилиндрическим сосудам. В первом – площадью поперечного сечения (1) керосин движется со скоростью , во втором – площадь поперечного сечения (2) керосин вытекает со скоростью . Давление P 1 в первом сосуде, обусловившее движение жидкости, создается поршнем и равно
а) –? б) τ –?	. (3)

Для нахождения искомых величин используем уравнения неразрывности и уравнение Бернулли в сечениях S ₁ и S ₂:

(4)

Из системы уравнений (4) с учетом формул (1) – (3) для скорости вытекания керосина υ₂ получается:

Скорость движения керосина в шприце υ₁ и скорость движения поршня равны. Поэтому время, за которое будет выдавлен весь керосин из шприца, следует из соотношения: с.

Ответ: = 3,2 м/с; τ = 7,9 с.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.65. За промежуток времени D t = 1,0 c, отсчитанный по часам некоторой системы отсчета K, частица, двигаясь прямолинейно и равномерно, переместилась из начала координат системы K в точку с координатами X = Y = Z = 1,5×10⁸ м. Найти промежуток собственного времени D t ₀, за который произошло это перемещение.

(0,5 с)

1.66. Относительно К-системы отсчета летит куб со скоростью u = u _х. Ребро куба равно а. Ось Х параллельна одному из ребер куба. Чему равен его объем V в К -системе отсчета? Во сколько раз изменится объем тела V по сравнению с объемом V ₀ относительно неподвижной к кубу системы отсчета? Годится ли полученный ответ для тела произвольной формы?

1.67. Как изменится плотность стального кубика с точки зрения наблюдателя, движущегося вдоль одного из ребер кубика со скоростью по сравнению с плотностью относительно наблюдателя, покоящегося по отношению к кубику?

1.68. Электрон движется со скоростью, равной 0,6 скорости света. Определите импульс и полную энергию электрона.

(р = 20,5 10^-23 ; W = 1,0×10^-13 Дж)

1.69. Две частицы, покоящиеся в К' -системе отсчета на расстоянии D l друг от друга по оси X', одновременно распадаются. Одновременным ли будет распад частиц для наблюдателя в К -системе отсчета, относительно которой частицы двигались со скоростью ?

1.70. Определить периметр П квадрата со стороной а, движущегося со скоростью вдоль одной из своих сторон, где С - скорость света

(П = 3,7 а)

1.71. В широкой части горизонтально расположенной трубы течет нефть со скоростью u₁ = 2,0 м/с. Определить скорость течения нефти в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой частях трубы D р = 50 мм рт.ст. Плотность нефти r = 0,85·10³ кг/м³.

(u₂ = 4,4 м/с).