Кинематика. 1. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону = t3 +3t2 (м), где, орты осей x и y

Примеры решения задач

1. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону = t ³ +3 t ² (м), где, орты осей x и y. Определить для момента времени t = 1 c:

а) модуль скорости;

б) модуль ускорения.

Дано: = t 3 +3 t 2 t = 1 с.	Решение Вектор скорости определяем как первую производную радиус-вектора по времени. = = 3 + 6 t .
υ =? =?

В то же время вектор скорости, как и любой вектор можно представить через его компоненты = υ _x + υ _y + υ _z .

Сравнивая это выражение с предыдущим, получим: υ _x = 3 ; υ _y = 6 t; υ _z = 0.

Модуль скорости определяется через компоненты:

м/с.

Ускорение частицы равно производной от вектора скорости

, где компоненты W_x = 6 t, W_y = 6.

Модуль ускорения

= 8,48 м/c² ≈ 8,5 м/c².

Ответ: 1) = 6,7 м/c;

2) W = 8,5 м/c².

2. Точка движется в плоскости xy из положения с координатами х ₁ = у ₁ = 0 со скоростью = a + bx (a; b – постоянные, ; – орты осей и х и у)

Определите: 1) уравнение траектории точки у (х); 2) форму траектории.

Дано: х 1 = у 1 = 0 = a x + bx y	Решение: Компоненты скорости υ x = а, υ у = bx. Так как υ x = , a υ = (х и у – компоненты радиус-вектора) = а; = bx.
1) y (x) =? 2) форма траектории?

Из последних выражений, исключая время, получаем или . Интегрируя, получим . Траектория является параболой.

Ответ: 1) у = ; 2) парабола.

3. Частица движется по окружности радиусом м, и путь изменяется со временем по закону , где м/с³. Найти: а) момент времени , при котором нормальное ускорение будет равно тангенциальному ; б) полное ускорение в этот момент времени.

Дано: м м/с³	Решение   а) Выражения для нормального, тангенциального и полного ускорений имеют вид: Wn = ; Wr = ; Из условия задачи получим уравнение относительно t 0: или . Отсюда для t 0 имеем: с;
a) б)

б) для полного ускорения из условия задачи получим

м/с² м/с².

Ответ: t ₀ = 0,87 с, W = 15 м/с².

4. Тело брошено с вышки в горизонтальном направлении со скоростью = 30 м/с. Найти значения следующих величин через две секунды τ = 2,0 с: а) скорости , тангенциального ускорения W _τ, нормального ускорения W_n; б) радиуса кривизны траектории R.

Дано: = 30 м/с τ = 2,0 с	Решение Траектория движения тела показана на рисунке. Направление вектора , составляющих скорости , , а также , , через время τ также показано на рисунке.
а) , W τ, Wn –? б) R –?

Введем систему координат XOY, как показано на рисунке, чтобы учесть независимость движений тела по горизонтали и вертикали. Проекция вектора скорости на ось OX остается всегда постоянной и равной . Проекция вектора скорости на ось OY растет со временем по закону = gt, так как вдоль оси OY тело движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Поэтому для модуля скорости тела получим

. (1)

Через две секунды значение модуля скорости будет равно:

м/с.

Из рисунка следует, что

, следовательно, значение нормального ускорения

Аналогично

отсюда тангенциальное ускорение

Радиус кривизны из выражения для нормального ускорения

Ответ: = 35,8 м/с; W _τ = 5,4 м/с²; W_n = 8,2 м/с²; R = 1,6 м.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.1. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам: , , u _z = 0, где а и w – константы. Найти модули скорости | | и ускорения , а также угол a между векторами и . По какой траектории движется частица?

(| | = а, = а w, a = p/2)

1.2. Зависимость координат движения частицы от времени имеет вид , , z = 0, где а и w – константы.

а) определить радиус-вектор , скорость и ускорение частицы, а также их модули;

б) найти уравнение траектории частицы.

( = a (cosw t + sinw t ); = a;

= a w (-sinw t +cosw t ); | | = a w;

= - a w² (cosw t +sinw t ); = a w²;

x ²/ a ² + y ²/ a ² = 1)

1.3. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением S = A + Bt ², где А = 8 м, В = -2 м/с^2. Определить момент времени t, когда нормальное ускорение W_n точки равно 9 м/с². Найти модули скорости u, тангенциального W _t и полного W ускорения точки в тот же момент времени t.

(t = 1,5 с, u = 6 м/с, W _t= 4 м/с², W = 9,8 м/с²)

1.4. Частица движется со скоростью = at (2 +3 +4 ) (а = 1,0 м/с²). Найти:

а) модуль скорости частицы в момент времени t = 1 с;

б) ускорение частицы и его модуль;

в) путь S, пройденный частицей с момента времени t ₁ = 2 с до t ₂ = 3 с;

г) какой характер имеет движение частицы? Почему?

(u = 5,4 м/с, = a (2 +3 +4 ), = 5,4 м/с², S = 14 м)

1.5. Точка движется вдоль оси Х, причем координата изменяется по закону . Найти:

а) выражение для проекции на ось Х скорости и ускорения точки;

б) путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = T /8 до t = T /4.

(u х = -(2p/ T) a sin(2p / T) t, Wx = -(2p / T)² a cos (2p/ T) t, S = 0,707 a)

1.6. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону

= 3 t ² +2 t +1 . Найти:

a) скорость и ускорение частицы;

б) модуль скорости в момент времени t = 1 с;

в) приближенное значение пути S, пройденное частицей за 11-ю секунду движения.

(а) = 6 t +2 (м/с); б) = 6 (м/с²); в) | | = 6,3 м/с, S = 63 м).

1.7. Тело брошено под углом a к горизонту и в начальный момент времени имеет скорость . Построить качественные зависимости и как функции от времени движения тела до момента падения. Определить радиус кривизны траектории в момент времени t = t/4, где t – время движения до падения. Сопротивления движению нет.

(R = )

1.8. Тело в течение времени t движется с постоянной скоростью u₀. Затем скорость его линейно нарастает со временем так, что в момент времени 2t она равна 2u₀. Определить путь, пройденный телом за время t. C читать что t< t <2t.

(S = + )

1.9. Т o чка движется по криволинейной траектории с постоянным тангенциальным ускорением w _t = 0,5 м/с². Определить полное ускорение точки в момент времени t = 5 с от начала движения, если радиус кривизны траектории в этот момент времени R = 2 м.

(W = 3,2 м/с²)

1.10. Начальное значение скорости = 1 +3 +5 _, (м/с), конечное = 2 +4 +6 _, (м/с). Найти:

а) приращение скорости Δ ; б) модуль приращения скорости | Δ |;

в) приращение модуля скорости u.

(а) Δ = 1 +1 +1 м/с; б) | Δ | = 1,73 м/с, в) u = 1,57 м/с).

1.11. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый момент времени от начала движения ускорение точки W_n = 5,0 м/с²; вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором тангенциального ускорения угол a = 30 . Считая W _t = const, найти закон изменения W_n = f (t).

(W_n = 7,5 t ² м/с²).

1.12. Точка движется по дуге окружности радиусом R. Ее скорость зависит от пройденного пути S по закону , где k – постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от S.

()

1.13. Тело брошено под углом a = 45° к горизонту с начальной скоростью u = 30 м/с. Определить радиус кривизны траектории R в максимальной точке подъема тела и в точке его касания с землей. Качественно постройте зависимости кинетической W_k, потенциальной W_p, и полной W энергии тела как функции времени. Сопротивления движению не учитывать.

(R ₁ = 46 м, R ₂ = 130 м)

1.14. Материальная точка движется по окружности радиусом R. Ее тангенциальное ускорение изменяется по закону W t = kt, где k >0. В какой момент времени t с начала движения модули нормального и тангенциального ускорения будут равны? Чему равно полное ускорение материальной точки в этот момент времени? Какой угловой путь j пройдет точка к этому моменту времени? Качественно изобразите закон изменения угловой скорости w как функцию времени.

(; ; j = 0,67 рад)

1.15. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным угловым ускорением. Определить тангенциальное ускорение точки, если известно, что с некоторого момента за интервал времени t = 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение W _n = 2,7 м/с ². Определить угловую w₀ и линейную ₀ скорости в начале указанного интервала времени. Построить графики зависимости модулей ускорения и угловой скорости от времени на интервале движения:

= f (t); W _t = f (t); w = f (t).

(w₀ = 6,4 рад/с; ₀ = 1,9 м/c)